חבורה (מבנה אלגברי)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, חבורה היא מבנה אלגברי המורכב מקבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית.

החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך המאה ה-19, במסגרת הניסיונות לפתור משוואות פולינומיות ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית שהתגלו במאה ה-16. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם גלואה, היו חבורות ספציפיות שאיבריהן הם תמורות. מאוחר יותר ניסח ארתור קיילי את מערכת האקסיומות המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את תורת החבורות.

לתורת החבורות יש שימושים רבים במתמטיקה עצמה, כאמור, אך גם בפיזיקה, כמו בחקר מבנה הגבישים והמולקולות, ובחקר מושג הסימטריה.

הגדרה

חבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G} היא מבנה אלגברי בסיסי הכולל קבוצה עם פעולה בינארית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cdot} ("סגורה": לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b\in G} מתקיים ), אשר מקיימת את התכונות הבאות:

  • אסוציאטיביות (קיבוציות): לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c\in G} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c} .
  • קיום איבר יחידה: קיים איבר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e\in G} כך שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in G} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\cdot e=e\cdot a=a} .
  • קיום איבר הופכי: לכל קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b\in G} עבורו .

(מהאקסיומות נובע שיש רק איבר יחידה אחד, ושלכל איבר יש הפכי אחד).

חבורה אבלית (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי הקומוטטיביות (חילופיות) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a,b\in G} .

דוגמאות

  • חוג המספרים השלמים עם פעולת החיבור הוא חבורה אבלית הנקראת החבורה הציקלית האינסופית. זו אינה חבורה ביחס לכפל, משום שיש מספרים שאין להם הפכי שלם.
  • קבוצת הסימטריות של מצולע משוכלל (פעולות שיקוף וסיבוב שלא משנות אותו) עם פעולת ההרכבה (ביצוע הפעולות בזה אחרי זה). חבורה זו נקראת חבורה דיהדרלית.
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S_n} , חבורת התמורות על איברים, ביחס לפעולת ההרכבה. זוהי חבורה לא־אבלית לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n>2} .
  • קבוצת המטריצות ההפיכות מסדר , המסומנת , היא חבורה ביחס לפעולת כפל מטריצות. חבורה זו נקראת החבורה הלינארית הכללית.
  • חבורת שורשי היחידה מסדר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , כלומר השורשים המרוכבים של המשוואה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z^n = 1} עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים. חבורה זו היא חבורה ציקלית מסדר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . גם מעגל היחידה ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{C}} , כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{z\in\mathbb{C}\ |\ \left|z\right|=1\}} , הוא חבורה ביחס לכפל.

קשרים בין חבורות למבנים כלליים יותר

איבר היחידה של חבורה הוא האידמפוטנט היחיד בה. בחבורה למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, חבורה למחצה הפיכה היא חבורה למחצה שבה לכל x קיים y יחיד כך ש-xyx=x ו-yxy=y; במקרה זה מסמנים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{-1}=y} . בחבורה למחצה סופית S, לכל אידמפוטנט e, קבוצת האברים המקיימים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ xx^{-1}=x^{-1}x=e} היא תת־החבורה המקסימלית של S ש-e הוא איבר היחידה שלה.

במונואיד, שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר a יהיה "הפיך מימין" (קיים b עבורו ab=1) או "הפיך משמאל" (קיים b עבורו ba=1). איבר a שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, יש b עבורו ab=ba=1. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה ), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל a קיימים x,y עבורם . מונואיד שבו מ-ax=ay תמיד נובע x=y, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההיפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.

תת־חבורות

תת-קבוצה של חבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G} המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת תת־חבורה. כל תת־קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני אברים את מכפלתם, היא תת־חבורה. החיתוך של תת־חבורות הוא תמיד תת־חבורה. כל תת־חבורה H מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות קוסטים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה , ומשמאל, המחלקות הן מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Hg = \{hg: h\in H\}} . מספר האברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האברים בתת־החבורה, ומכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של תת־חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת־חבורה נקרא האינדקס של תת־החבורה ומסומן . כאשר החבורות סופיות מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [G:H]=\frac{|G|}{|H|}} .

מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של אברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת־חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.

בין תת־החבורות, חשובות במיוחד תת־החבורות הנורמליות, שהן תת־חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במלים אחרות, תת־חבורה H היא תת־חבורה נורמלית של G אם לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g\in G} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ gHg^{-1}\sub H} ; לכן לכל g. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת־חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת־חבורה נורמלית H אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת חבורת המנה של G ביחס ל־H, וגודלה הוא האינדקס של H ב־G. החבורה עצמה, ותת־החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת־חבורות נורמליות אחרות נקראת חבורה פשוטה. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת־חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הנקרא הרחבה של חבורות. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן כי N תת־חבורה נורמלית של H, ו־H תת־חבורה נורמלית של G, בעוד כי N אינה נורמלית ב־G).

המכפלה של תת־חבורות מוגדרת לפי הכפלת האברים, . זוהי תת־חבורה אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_1 H_2 = H_2 H_1} . מכיוון שתת־חבורה נורמלית N מקיימת את הזהות , מכפלתה עם כל תת־חבורה מהווה תת־חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת־חבורות נורמליות היא תת־חבורה (נורמלית).

תת־חבורות מיוחדות

אומרים שאברים a,b בחבורה מתחלפים, אם ab=ba. אוסף האברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת־חבורה שלה, הנקראת מֶרְכָּז החבורה; את המרכז של G מקובל לסמן ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Z(G)} , על־פי המלה הגרמנית למרכז Zentrum. המרכז הוא תת־חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון החבורה הסימטרית, שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת־חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.

באופן כללי יותר, לכל תת־חבורה H של חבורה G מסמנים ב- את אוסף האברים של G, המתחלפים עם כל אברי H. תת־חבורה זו נקראת המְרַכֵּז של H. בפרט, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Z(G) = C_G(G)} . אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H \subseteq H_1} שתי תת־חבורות של G, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C_G(H_1)\subseteq C_G(H)} . לכל תת־חבורה מתקיים , ו־ .

באופן דומה, מגדירים את המנרמל של H, כתת־החבורה . תת־חבורה זו מכילה את H, והיא תת־החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.

ראו גם: תת-חבורת הקומוטטורים, סדרה נורמלית.

יוצרים ויחסים

ערך מורחב – ייצוג של חבורה

קבוצה S של אברים בחבורה G היא קבוצת יוצרים של G, אם תת־החבורה הקטנה ביותר המכילה את S היא G עצמה. חבורה שיש לה קבוצת יוצרים ובה איבר יחיד, נקראת חבורה ציקלית; כל חבורה נוצרת סופית היא בת מנייה.

היוצרים של חבורה יכולים לקיים ביניהם יחסים; למשל, חבורת התמורות של שלושה עצמים נוצרת על ידי התמורות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma = (123), \tau=(12)} , המקיימות את היחסים . חבורה שבין היוצרים שלה אין יחסים כלל נקראת חבורה חופשית; כל חבורה היא חבורת מנה של חבורה חופשית.

חבורה חופשית גדלה בקצב מעריכי. חבורות אינסופיות אחרות עשויות להציג פונקציות גידול מורכבות יותר. אם X קבוצת יוצרים סופית, מסמנים ב־ את קבוצת האברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר n אברים של B. המספר הוא קצב הגידול של החבורה (ביחס ל־X). מבחינים בשלוש מחלקות של חבורות: אלו שיש להן קבוצת יוצרים שקצב הגידול ביחס אליה הוא 1; אלו שאין להן קבוצה כזו, אבל האינפימום של קצבי הגידול הוא 1; ואלו שבהן האינפימום של קצבי הגידול הוא 1. בחבורה לא אמנבילית קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ־1.

פעולות יסודיות ואיברים צמודים

לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן לפעול על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה X מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה X לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של X מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך.

כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ההצמדה. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר x שולח את האיבר y לאיבר xy. בדרך זו הופך האיבר x לתמורה על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של משפט קיילי: כל חבורה היא תת־חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר x שולח את y ל־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ xyx^{-1}} ; פעולה זו מחלקת את החבורה G למחלקות שקילות מן הצורה , הנקראות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם אוטומורפיזם של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת הצגה של החבורה, כתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה אם ורק אם לחבורה יש מרכז טריוויאלי.

ראו גם

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.