חבורה חופשית

חבורה חופשית היא חבורה שקבוצת היוצרים שלה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X} אינה מקיימת אף יחס. בחבורה כזו כל איבר הוא מילה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x, x^{-1}} עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\in X} , ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{-1}x} . הכפל בחבורה מוגדר על ידי הדבקת שתי המילים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle X\rangle} . ראו גם מונואיד חופשי.

בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על ידי מילה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט לבעיית המילה ובעיית הצמידות.

אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה עוצמה, אז החבורות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle X\rangle} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle Y\rangle} איזומורפיות זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- . מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא הדרגה של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F} מסמנים ב- . כך למשל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ rank(\mathbb{F}_n)=n} .

הראשון להגדיר חבורה חופשית (נוצרת סופית) היה Walther von Dyck, ב-1882, שביקש לתת תיאור אלגברי מדויק למושג הפעולה הגאומטרית של חבורה על המרחב. הוא הראה שכל חבורה נוצרת סופית היא מנה של חבורה חופשית. המשפט המשמעותי הראשון בתחום הנקרא היום תורת החבורות הקומבינטורית הוא משפט נילסן-שרייר, הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה מאינדקס סופי תמיד גדולה מזו של החבורה: אם F חופשית ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H \leq F} תת-חבורה מאינדקס סופי, אז . אם F חבורה חופשית נוצרת סופית, אז לכל אנדומורפיזם , תת-החבורה הקבועה היא נוצרת סופית[1]. אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma} אוטומורפיזם, הדרגה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F^{\sigma}} אינה עולה על זו של F[2].

חבורה חופשית היא אובייקט חופשי בקטגוריה של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת אוניברסליות: לכל חבורה ופונקציה קיים הומומורפיזם יחיד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi :F \rightarrow G} המקיים , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi: X \rightarrow F} הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על ידי הקבוצה X, קיים אפימורפיזם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle X\rangle \rightarrow G} , ובמילים אחרות כל חבורה אפשר להציג כחבורת מנה של חבורה חופשית. אם כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F=\langle X\rangle} חופשית, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N=\langle R \rangle} חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים יחסים של G. המנה מסומנת ב- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle X|R\rangle} ונקראת הצגה של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ-representation).

חבורת אוטומורפיזמים

חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית נוצרת על ידי פעולות טבעיות על היוצרים, מן הצורה , והיחסים בין היוצרים האלה מוכרים וידועים. מחבורת האוטומורפיזמים החיצונית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Out}(\mathbb F_n) = \operatorname{Aut}(\mathbb{F}_n)/\operatorname{Inn}(\mathbb{F}_n)} יש הטלה טבעית על החבורה הלינארית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})} , המוגדרת על ידי ההטלה . כאשר n=2, חבורת האוטומורפיזמים החיצונית איזומורפית ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})} (Nielsen, 1917).

תורה מסדר ראשון

ב-1945 שיער אלפרד טרסקי שלכל החבורות החופשיות עם יותר מיוצר אחד יש אותה תורה מסדר ראשון. כלומר בדיוק אותם משפטים מסדר ראשון נכונים בכל חבורה חופשית מלבד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb Z} (שהיא החבורה החופשית היחידה שהיא אבלית). ההשערה הוכחה באופן בלתי-תלוי על ידי צליל סלע ועל ידי Kharlampovich ו-Myasnikov, שבנוסף הוכיחו שתורה זו כריעה.

הערות שוליים

  1. Goldstein-Turner 1986
  2. Bestvina-Handel 1992
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.