התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי היא מונח מתחומי סטטיסטיקה ותורת ההסתברות, הקרוי על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, המתאר התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך או ערך בהסתברות ו-. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- (כלומר: ).

למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על בקובייה תקינה היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא . בדוגמה זו המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .

את העובדה שלמשתנה מקרי יש התפלגות ברנולי מסמנים (לעיתים ). והשונות שלו היא . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה לכל (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ולכן כל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, (ובפרט ההתפלגות היא התפלגות ברנולי).

תכונות

אם הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

פונקציית הסתברות של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

צורה שקולה לביטוי זה היא:

או:

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור .

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של . עבור ערכי ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת

התוחלת של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:

זאת משום שעבור בו יחד עם מתקבל:

שונות

השונות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:

הוכחה

ראשית,

ומכאן:

כמובטח.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.