העתקה פרויקטיבית

העתקה פרויקטיבית היא העתקה במרחב פרויקטיבי שהיא הרכבה של מספר הטלות פרספקטיביות.

אינטואיציה גאומטרית

נגדיר הטלה פרספקטיבית (perspectivity) כהעתקה בין שני ישרים, באמצעות נקודה. בציור שמשמאל, מתוארת הטלה המעבירה את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P_1 } ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P_2 } , ואת ל-, באמצעות הנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ O } .

העתקה פרויקטיבית בין ישרים היא הרכבה של הטלות כנ"ל. בציור שמשמאל, ההעתקה המעבירה את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P_1 } ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P_3 } , ואת ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ Q_{3}} , היא העתקה פרויקטיבית.

עבור מישורים, כל העתקה המעבירה מישור למישור באמצעות נקודת הטלה היא העתקה פרויקטיבית. דוגמאות להעתקות פרויקטיביות בין מישורים מתוארות ברישומים שלהלן. הגדרה שקולה להעתקות פרויקטיביות בין מישורים היא: "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים המעתיקה ישרים לישרים". או בניסוח אחר, "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים , שהצמצום שלה על ישר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ l \in\ \pi\ } הוא העתקה פרויקטיבית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f|_l:l \rightarrow\ l_2 } בין הישרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ l } ו-".

קובץ:ProjectiveGeometry5.PNG קובץ:ProjectiveGeometry7.PNG

הגדרה אלגברית

נתן לבנות מרחב פרויקטיבי ממשי על ידי קואורדינטות הומוגניות, על ידי מערכת הצירים של המרחב האוקלידי וחלוקה בקואורדינטה האחרונה. כלומר, המרחב הפרויקטיבי הממשי מתקבל מהמרחב האוקלידי תחת יחס שקילות של כפל בקבוע. כך, כל הנקודות בישר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{(tx,ty,tz) | t \in\R\} } תיוצגנה על ידי הנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{( {x \over z}, {y \over z},1)\} } .

בהינתן מרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V:=F^n } , נבחר העתקה לינארית רגולרית כלשהי . העתקה זו מעבירה בין ישרים ב-V. לפיכך, היא משרה העתקה (לא בהכרח לינארית) על המרחב הפרויקטיבי המוגדר מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V } על ידי יחס השקילות הנ"ל. מכיוון ש-T מעבירה בין תת-מרחבים של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F^n } , הרי שהיא מעבירה גם בין תת-מרחבים של (למשל, בין ישרים).

השימוש בקואורדינטות הומוגניות מאפשר יצוג אלגברי פשוט של ההעתקות הפרויקטיביות. למשל, העתקה לינארית במישור האוקלידי מעבירה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (x,y)\rightarrow \ (ax+by,cx+dy)} . החלת יחס השקילות על המישור האוקלידי מניבה את הישר הפרויקטיבי. ההעתקות הלינאריות תעבורנה להעתקות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,1) \rightarrow\ {({{ax+b} \over\ {cx+d}},1)} } , שהן העתקות מביוס. כל העתקה פרויקטיבית כזו היא למעשה העתקה לינארית על המישור האוקלידי. לכן נתן לייצג את ההעתקות הפרויקטיביות על ידי מטריצות מסדר 2x2, כשכפל המטריצות מייצג הרכבת העתקות.

מתוך כך נתן לראות שההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי מהוות חבורה, שהיא תת-חבורה של חבורת המטריצות מסדר 2x2. כדי לזהות את חבורת ההעתקות הפרויקטיביות יש לשים לב לשני אפיונים. האחד - מטריצה כנ"ל מייצגת העתקה פרויקטיבית אמ"ם המטריצה הפיכה. השני - שתי מטריצות שונות מיצגות אותה ההעתקה הפרויקטיבית אמ"ם האחת היא כפל של השנייה בקבוע. מתוך אפיונים אלו נתן לזהות את חבורה ההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי הממשי כ- תחת יחס השקילות של כפל בקבוע (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {GL}_2{(R)} } היא חבורת המטריצות ההפיכות מסדר 2x2).

נתנו שתי הגדרות שונות להעתקות פרויקטיביות. האחת מתוך אינטואיציה גאומטרית והשנייה אלגברית. הוכחת הזהות בין שתי ההגדרות הנ"ל של ההעתקות הפרויקטיביות אינה טריויאלית. דרך אפשרית היא לבחור את האברים היוצרים את החבורות (בהגדרה הגאומטרית או בהגדרה האלגברית), ולבטא אותם ישירות על ידי העתקות מההגדרה השנייה. את הכוון השני מקבלים משיקולים של מספר דרגות החופש.

מקומה של ההעתקה הפרויקטיבית בהיררכיית ההעתקות במישור

משפחות העתקות במישור
שם המשפחהמס' דרגות חפששמורותיצוג מטריציוני בקואורדינטות הומוגניותהמחשת ההעתקה על ריבוע במישור
אוקלידיות 3אורך, זווית, שטח
דמיון 4זווית, יחס בין אורכים, יחס בין שטחים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} K\cos \theta\ & -K\sin \theta\ & t_x \\ K\sin \theta\ & K\cos \theta\ & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}
אפיניות 6מַקְבִּילִיוּת, יחס שטחים
פרויקטיביות 8יחס כפול , עד כדי כפל בקבוע.

ניתן לסדר את ההעתקות הפועלות על ריבוע במישור לפי מספר דרגות החופש שלהן.

בהינתן מערכת צירים כלשהי, העתקה בעלת דרגת חופש יחידה יכולה להיות, למשל, הזזה של נקודה בכיוון מסוים. העתקה כזו נתונה לפי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ f(x,y)=(x,y)+t(x_{0},y_{0})} , עבור וקטור כיוון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_0,y_0) } קבוע, ופרמטר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t } .

העתקה אחרת תהא סיבוב הנקודה בזווית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta\ } כלשהי עם כוון השעון. העתקה כזו נתונה לפי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x,y)=(x\cdot\cos \theta\ - y\cdot\sin \theta, x\cdot\sin \theta\ + y\cdot\cos \theta\ ) } .

שתי ההעתקות האלה משמרות בין היתר אורכים (של קטעים), שטחים וזויות בין קטעים.

החבורה הנוצרת על ידי שתי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 3 דרגות חופש (מקדמי ההזזה בכל אחד מהצירים וזווית הסבוב). ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות אוקלידיות או איזומטריות.

יש המוסיפים להעתקות האוקלידיות גם שיקוף סביב ציר מסוים, אך לא מוסיפים דרגות חופש מכיוון שאיבר זה מגדיל את החבורה רק פי 2.

העתקה אחרת בעלת דרגת חופש יחידה היא סילום (scaling) של נקודה ביחס לראשית הצירים. העתקה כזו נתונה לפי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x,y)=(kx,ky) } , עבור פרמטר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k } .

החבורה של כל צירופי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 4 דרגות חופש (דרגת חופש נוספת עבור מקדם הסילום). העתקות אלו אינן משמרות אורכי קטעים ושטחים אולם עודן משמרות זוויות, יחסי אורכים ויחסי שטחים. ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות דמיון (העתקות סילום), והן נחשבות כהעתקות הכלליות ביותר המשמרות "צורה" של מצולע.

הוספת שתי דרגות חופש תוביל אל המשפחה הבאה בהיררכיה.

דרגת חופש ראשונה תווסף על ידי הכפלת כל אחד מהצירים במקדם שונה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x,y)=(ax,by) } . בין היתר נתן לקבל מהעתקה זו שיקוף סביב אחד הצירים, למשל על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x,y)=(-x,y) } .

דרגת חופש שנייה היא על ידי פעולה הגזירה (shear), ומשמעה הוספת גורמים מהקואורדינטה האחת לקואורדינטה האחרת . הרכבה של סיבוב ב-90 מעלות ושל שיקוף תניב העתקה המחליפה בין הקואורדינטות . לכן, הרחבת חבורת העתקות הדמיון בשתי דרגות החופש הנ"ל, תאפשר גם העתקה מהסוג .

כך מתקבלת חבורת ההעתקות האפיניות. ההעתקות בחבורה זו משמרות מקביליות של ישרים (מעתיקות ריבוע למקבילית) ויחס בין שטחים. העתקה לינארית היא מקרה פרטי של העתקה אפינית, ובה כאשר מקדמי ההזזה מאופסים. לכן, יצוג מטריציוני של העתקה אפינית בקואורדינטות הומוגניות מכיל מטריצה מסדר 2x2 ווקטור הזזה. בדומה להעתקות לינאריות, שטח המקבילית המתקבלת מהעתקה אפינית על ריבוע שוה לשטח הריבוע המוכפל בדטרמיננטה של המטריצה.

חבורת ההעתקות הפרויקטיביות היא בעלת שמונה דרגות חופש (כל המטריצות מסדר 3x3 עד כדי קבוע). היא אינה משמרת זוויות ואף לא יחס בין אורכים. היא מעתיקה ישרים לישרים ונקודות לנקודות, ומשמרת חילה של ישרים בנקודות. גודל נוסף הנשמר על ידי ההעתקה הוא יחס כפול, שהוא למעשה יחס בין יחסים של אורכים.

  • כל הגדלים הנשמרים על ידי העתקה מסוימת נשמרים גם על ידי כל ההעתקות במשפחות הפשוטות ממנה המופיעות בטבלה.
  • ההיררכיה זהה נתן ליצור גם עבור ההעתקות במרחב.
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.