הטלה (מתמטיקה)

באלגברה לינארית הטלה היא סוג של העתקה לינארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב לינארי מסוים.

דוגמה

נסתכל בווקטור ב- אותו אפשר לרשום כ- , אזי הטלתו על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור תחזיר . הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל . הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה

יהי מרחב וקטורי ותהי העתקה לינארית. תיקרא הטלה על תת-מרחב של אם . איבר באלגברה המקיים נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

באופן שקול אם נחלק את V לסכום ישר של תתי-מרחב , אזי לכל וקטור קיימים ו- כך ש . נאמר שההעתקה הלינארית היא הטלה על אם היא מקיימת .


ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית. הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

תכונות

יהי מרחב וקטורי עם הטלות על תתי-המרחב בהתאמה אזי לכל מתקיים:

  1. לכל
  2. ניתנת ללכסן, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
  3. יהי העתקה לינארית, אזי תתי-המרחב הינם תתי-מרחב שמורי T אם ורק אם (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.