ארבעון

אַרְבָּעוֹן[1] (גם טטראדר או טטרהדרון; באנגלית: Tetrahedron) הוא פירמידה משולשת, כלומר גוף שכל ארבע פאותיו הן משולשים. לארבעון 4 קודקודים, 4 פאות, ו-6 מקצועות.

אף על פי שלעיתים נתפסת הקובייה כגוף הפשוט ביותר, תואר זה שייך דווקא לארבעון. הוא מכיל את מספר הקדקודים המזערי הדרוש כדי להיות גוף תלת ממדי ולא מישורי, שכן דרך כל שלוש נקודות עובר מישור.

הארבעון הוא 3-סימפלקס, מקרה פרטי של n-סימפלקס (הכללה רב-ממדית של המשולש).

ארבעון משוכלל

ארבעון משוכלל הוא ארבעון שכל פאותיו הן משולשים שווי צלעות.

הארבעון המשוכלל סימטרי במידה רבה ביותר: חבורת הסימטריות שלו פועלת 4-טרנזיטיבית על ארבעת הקודקודים, כלומר, אפשר להעביר, על ידי סיבוב ושיקוף, כל סדרת קודקודים לכל סדרת קודקודים אחרת. חבורת הסימטריות המרחביות של הארבעון המשוכלל איזומורפית לחבורת תמורות . השלד של הארבעון הוא הגרף השלם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_4} , וחבורת הסימטריות שלו איזומורפית ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_4} .

הארבעון המשוכלל הוא אחד מחמשת הגופים האפלטוניים, הידועים גם בשם הפאונים המשוכללים. גוף אפלטוני הוא פאון שכל פאותיו הן אותו מצולע משוכלל (מצולע שווה-צלעות), ובכל אחד מקודקודיו נפגשות פאות באותו מספר.

שטח הפנים A והנפח V של ארבעון משוכלל בעל צלע a הם:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\sqrt{3}a^2}

הארבעון המשוכלל הוא דואלי לעצמו. כלומר: אם נסמן בכל אחת מפאותיו של ארבעון את הנקודה האמצעית, ונחבר את כל הנקודות הללו, נקבל ארבעון משוכלל.

מיון הארבעונים על-פי הסימטריות שלהם

את הארבעונים אפשר למיין למשפחות, על-פי חבורת הסימטריות שלהם. זהו מיון בעל משמעות בקריסטלוגרפיה, שם ממיינים את הסריגים למחלקות בראבה ולמערכות גבישיות, בין השאר, על-פי חבורת הסימטריות של תא היחידה של הסריג.

הסימטריות של השלד

הקודקודים והמקצועות של ארבעון מרכיבים את השלד החד-ממדי שלו, שהוא גרף שממנו אפשר לשחזר את המבנה הגאומטרי, התלת-ממדי. בסימטריות של השלד אפשר לבצע גם פעולות שאינן אפשריות בגוף צפיד, השקולות לשיקוף של המרחב: תמורה של הקודקודים מהווה סימטריה של השלד, אם היא מעתיקה כל מקצוע למקצוע באותו אורך. משום כך יש יותר חבורות סימטריה אפשריות לשלד, על-פי הפירוט הבא.

1. חבורת הסימטריות של ארבעון משוכלל היא (אם חבורת הסימטריות מכילה את , שהיא 2-טרנזיטיבית על הקודקודים ולכן טרנזיטיבית בפעולה על המקצועות, הארבעון מוכרח להיות משוכלל).

2. חבורת הסימטריות היא החבורה הדיהדרלית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D_4} אם הארבעון הוא יתדון טטרגונלי, שבו ארבעה מקצועות שווי-אורך ועוד שניים, שאינם נפגשים, שגם שהם שווי-אורך. (הסימטריה הציקלית מסדר 4 מאלצת די שוויונות בין ארכי המקצועות כדי שהחבורה תהיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D_4} ).

3. חבורת הסימטריות היא החבורה הסימטרית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S_3} כאשר הארבעון הוא פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות. (גם כאן, סימטריה ציקלית מסדר 3 מאלצת את התכונות המקנות גם סימטריית שיקוף ועימה את החבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S_3} ).

4. חבורת הסימטריות היא חבורת הארבעה של קליין, , אם הארבעון הוא יתדון רומבי.

5. חבורת הסימטריות היא , מסדר 4, וכוללת שני חילופים המחליפים זוגות זרים של קודקודים, אם לארבעון יש ארבעה מקצועות שווי-אורך שאין ביניהם שלושה החולקים קודקוד משותף.

6. חבורת הסימטריות היא , ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים).

7. חבורת הסימטריות היא , ציקלית מסדר 2, עם חילוף של זוג קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך הנפגשים בקודקוד משותף.

8. בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות טריוויאלית.

סימטריות הסיבוב המרחביות

כל סימטריה של השלד אפשר לממש גם כסימטריה של המרחב כולו, אם מרשים בנוסף לסיבובים, גם לשקף את המרחב. פעולת השיקוף אינה ניתנת למימוש במציאות הפיזיקלית (בשל-כך יודע אדם בין ימינו לשמאלו). ללא שיקופים אפשר לממש רק תמורות זוגיות, ונותרות חמש אפשרויות:

1. חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון משוכלל היא, כאמור, .

2. חבורת סימטריות הסיבוב של פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות היא החבורה הציקלית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C_3} .

3. חבורת סימטריות הסיבוב של יתדון (רומבי או טטרגונלי) היא .

4. חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון בעל שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים) היא , ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים.

5. בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות טריוויאלית.

קוביית משחק

הארבעון משמש כקוביית משחק במשחקי תפקידים בתור ק4. המספרים מופיעים במרכז כל צלע. מאחר שאין לארבעון צד עליון המספר שהתקבל נקבע על פי המספר המופיע במרכז הצלע התחתונה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. במילוני האקדמיה ללשון העברית השונים גם: פִּירָמִידָה מְשֻׁלֶּשֶׁת, פִּירָמִידָה מְשֻׁלָּשִׁית, טֶיטְרָאֶדְרוֹן, טֶטְרָאֵדֶר
חמשת הפאונים האפלטוניים
ארבעון
(טטרהדרון – 4 פאות)
קובייה
(קובייה – 6 פאות)
תמניון
(אוקטהדרון – 8 פאות)
תריסרון
(דודקהדרון – 12 פאות)
עשרימון
(איקוסהדרון – 20 פאות)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.