אטום המימן

ערך זה זקוק לעריכה: ייתכן שהערך סובל מפגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון טעון שיפור או צורך בהגהה, או שיש לעצב אותו.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.

בעיית אטום המימן היא בעיה דו-גופית, שבה גוף אחד הוא חלקיק מסיבי בעל מטען חיובי הנקרא פרוטון, וגוף שני הוא חלקיק קל בעל מטען שלילי הנקרא אלקטרון. על החלקיקים פועל כוח קולון, שהוא כוח חשמלי מרכזי: כוח התלוי במרחק בין שני הגופים ובמטענם.

במכניקת הקוונטים, בניגוד למכניקה קלאסית, האלקטרון לא "נע" לאורך מסלול סביב הגרעין. הוא נמצא בו-זמנית בכל מקום בהסתברויות שונות. הפתרון הקוונטי מתאר באופן כמותי הסתברויות אלו ― הוא מתאר באופן מדויק מה הסיכוי למצוא את האלקטרון בחלק זה או אחר של המסלול.

ניסויים ספקטרוסקופיים שנערכו עד תחילת המאה ה-19 תיארו קווי פליטה של יסודות שונים. בפרט, תועד פיצול הקווים הספקטרליים של מימן בנוכחות שדה מגנטי (אפקט זימן). ניסיונות מוקדמים לבנות מודל תאורטי שיסביר את אפקט זימן, וכן אפקטים אטומיים אחרים, צלחו במידה מסוימת אך כשלו בתיאור אפקטים אחרים, כגון תוצאות ניסויי פיזור, שהיוו אבן יסוד בהתפתחות המודל האטומי.

מגוון מודלים התפתח במהלך השנים הראשונות של המאה ה-20. מודלים שונים סיפקו הסברים לתופעות שונות, אך שום מודל לא הצליח לתאר את כולם ובכל מודל היו כשלים מהותיים. חלקם סיפקו הסבר לתופעות פיזור, אחרים לתופעות ספקטרוסקופיות, מודלים מסוימים לא היו יציבים מבחינה מכנית ואחרים מבחינה אנרגטית.

כדי להסביר את ההתנהגות המלאה של אטום המימן, היה צורך בעקרונות קוונטיים. גדלים מסוימים באטום המימן יכולים לקבל ערכים בדידים בלבד, לדוגמה: האנרגיה והתנע הזוויתי. הדבר משול למטוטלת שלא ניתן לנדנד אותה בכל אמפליטודה אלא רק באמפליטודות מסוימות. למרות הבסיס הקוונטי הזה, הצליח נילס בוהר לבנות מודל כמעט מושלם של אטום המימן. ב-1913 הוא פרסם את נוסחת בוהר לרמות האנרגיה המותרות באטום המימן, אליה הוא הגיע במה שכונה "תערובת קסומה של פיזיקה קלאסית שלא במקומה ומכניקת קוונטים מוקדמת"[1] (משוואת שרדינגר לא פורסמה עד 1924).

רקע היסטורי

ב-1897 פרסם ג'יי. ג'יי. תומסון את "מודל עוגת הצימוקים" למבנה הפנימי של האטום. לפי מודל זה, האטום עשוי מכדור נוזל טעון חיובי, שהוא חסר צמיגות וחסר מסה, ובנוזל נמצאים חלקיקים בעלי מסה הטעונים במטען שלילי - האלקטרונים. תומסון הושפע מעבודותיהם של לורד קלווין ואלפרד מאייר (Alfred M. Mayer) בנושא תאוריית המערבולות (Atomic Vortex Theory) - תאוריה אטומית מוקדמת שלפיה אטומים הם מערבולות קטנות בנוזל מושלם ואינסופי. תחילה חשב תומסון על האטום כמבנה טבעתי, המורכב מחלקיקים טעונים במטען שלילי, שייתכן שמוחזקים יחדיו על ידי כוח מרכזי. במודל ראשוני זה לא היה מנגנון מושך שמונע מהאטום להתפשט כלפי חוץ. כשנתיים מאוחר יותר, הוא עידן את המודל על ידי הוספת הנוזל החיובי, אך רק ב-1903 נתן ניתוח כמותי מלא לבעיה.

הטיפול הכמותי תחת מודל תומסון היה פשטני. כדי להימנע מהסיבוכיות הגדולה של חישובים בשלושה ממדים, הגביל תומסון את מודל האטום שלו למסלולים מעגליים של אלקטרונים במישור אחד, וחישב מה יהיו הקונפיגורציות היציבות של מספרי אלקטרונים בכל מסלול. תומסון הראה, וזאת עוד לפני הולדת המכניקה הקוונטית, שמותרים מסלולים בדידים בלבד ולא רצף של אלקטרונים סביב מוקד יחיד. בנוסף, זיהה תומסון את הבעיה בצורת המסלולים - אלקטרונים המואצים בתנועה מעגלית פולטים קרינה ולכן מאבדים אנרגיה. איבוד האנרגיה הופך את האטום לבלתי יציב. תומסון הצליח להראות, בעזרת נוסחה שפותחה על ידי לרמור (Larmor) ב-1897, שככל שמספר החלקיקים גדול יותר בתוך המסלול כך קטן איבוד האנרגיה בגלל הקרנה. מאחר שבזמן הפרסום המקורי עדיין לא היה ידוע מספר האלקטרונים באטום, הבעיה הייתה פתורה.

המודל של תומסון היה המודל המקובל ביותר בין 1904 ל-[ [1910]], והקהילה המדעית התייחסה אליו כייצוג נכון של מבנה האטום. הסיבה העיקרית שהמודל היה כה פופולרי הייתה פשטותו - האטום מורכב מחלקיקים מסוג אחד בלבד, ולכן ניתן להתייחס לכל החומר בעולם כמורכב רק מסוג אחד של חלקיק. המודל גם התיימר להסביר, אם כי בצורה איכותית ולא כמותית, אפקטים פיזיקליים רבים כמו: אפקט זימן, רדיואקטיביות, האפקט הפוטואלקטרי ועוד.

מודל עוגת הצימוקים נכשל מכמה סיבות. ראשית, הוא דרש שנוזל החשמל החיובי יהיה חסר מסה וחסר צמיגות. הוא גם לא הצליח להסביר את ספקטרום הפליטה של אטומים מעוררים, אך הבעיה המשמעותית ביותר הייתה הערכתו של תומסון עצמו למספר האלקטרונים באטום. ב-1910 היה בסיס ניסויי מספק כדי לקבוע שבאטום המימן יש רק אלקטרון אחד, בהליום שניים או ארבע וכן הלאה. מיעוט האלקטרונים החזיר על כנה את בעיית יציבות האטום בשל פליטת קרינה, והיווה את המכה הקשה ביותר למודל. לא ניתן היה לטעון עוד כי ביצוע החישובים מסובך מדי, והמודל הישן לא תאם את המציאות.

ניסויי פיזור היו המפתח למודל הבא של האטום. מודל תומסון הצליח להסביר ניסויי פיזור של קרינת על ידי הנחה של פיזורים חוזרים מהאלקטרונים, אבל לא הצליח להסביר תוצאות של ניסויי פיזור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha \,\!} . מודל האטום של רתרפורד, לעומת זאת, שהתבסס על ניסויי הפיזור המפורסמים של רתרפורד שנערכו במנצ'סטר ב-1908, הצליח להסביר את התוצאות בצורה טובה מאד.

הניסוי של רתרפורד, שנערך על ידי האנס גייגר (Geiger) בסיוע ארנסט מרסדן (Marsden), היה ניסוי פיזור שבו נמדדו זוויות ההחזרה של חלקיקי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha \,\!} (גרעיני הליום מיוננים) מלוח זהב. התוצאות העלו שחלקיק אחד מ-8,000 מוחזר מהלוח (כלומר מוסט בזווית גדולה מ-90 מעלות). תוצאות אלה לא עלו בקנה אחד עם מודל הפיזורים המרובים של תומסון. כדי שפיזור בזווית גדולה יהיה אפשרי, על הפיזור להתבצע בהתנגשות יחידה עם מסה טעונה ומרוכזת. רתרפורד הסיק שהאטום מורכב מגרעין דחוס וטעון המוקף בענן מטען בעל סימן הפוך מהגרעין. רתרפורד לא קבע את מטען הענן או הגרעין, והחישובים שלו היו תקפים לגרעין חיובי או שלילי.

חולשת המודל המקורי של רתרפורד, שפורסם לראשונה ב-1911, נובעת בין השאר מכך שהוא נמנע מהתייחסות לצורת המסלול של האלקטרונים. בלי הבנה של התנהגות האלקטרונים היה המודל חסר יכולת להסביר תופעות כימיות כמו קישור בין אטומים, ואת סדירותה של הטבלה המחזורית. הוא גם לא היווה שיפור ביחס למודל של תומסון בנוגע להסבר קווי הפליטה הספקטרליים. ב-1913 פרסמו גייגר ומרסדן את תוצאות המדידות שלהם (שכללו יותר מ-100,000 מדידות נפרדות), ההתאמה המצוינת לנוסחת הפיזור שפיתח רתרפורד בהתבסס על המודל גברו על החולשות שהיו בו, והוא הפך למודל המקובל.

הראשון שהתמודד עם בעיית המבנה של ענן האלקטרונים היה נילס בוהר. ב-1912 שלח נילס בוהר לארנסט רתרפורד מכתב המפרט את רעיונותיו לגבי מבנה האטום. מכתב זה זכה לשם "מזכר מנצ'סטר". במכתב כותב בוהר כי האטום יהיה יציב מבחינה מכנית אם מתירים לאנרגיה הקינטית של האלקטרונים להיות פרופורציונית לתדירות הסיבוב שלהם. הוא בחר את קבוע הפרופורציה כך שיהיה קרוב לקבוע פלנק. בוהר התמודד עם בעיית קונפיגורציית האלקטרונים אך עדיין לא עם ספקטרום הפליטה. במאמר מאוחר יותר, משנת 1913, התייחס בוהר גם לבעיה זו.

כדי לפתור את הבעיה, הוסיף בוהר שני פוסטולטים לתאוריה. הראשון: מצבים יציבים (סטציונריים) קיימים עבור אלקטרונים המקיפים את הגרעין ועבורם מכניקה רגילה תקפה אך אלקטרודינמיקה אינה תקפה, השני: במעבר בין מצבים סטציונריים נפלטת קרינה, בתדירות שקשורה רק להפרש האנרגיות בין המצבים. בעזרת הנחות אלה הצליח בוהר לפתח את אורכי הגל של סדרות פליטה שהיו ידועות באותו זמן: סדרת בלמר וסדרת פשן (Paschen Series). סדרות אלה התאימו למצבים הקוונטיים n=2, n=3. בנוסף לכך, הוא חזה סדרות נוספות המתאימות ל n גדול מ-4, וכן ל-n=1. את הסדרה n=1 מדד לימן (Lyman) ב-1914, והיא נקראת על שמו. הסדרה תואמת את התחזיות של בוהר.

מודל האטום של בוהר היה שאפתני למדי, הוא התיימר לטפל לא רק באטומים פשוטים דוגמת אטום המימן, אלא ניסה לבנות תאוריה כימית שלמה גם ליסודות הכבדים, וכן למולקולות פשוטות. התאוריה כשלה לראשונה בניסיונות של בוהר לתאר קשרים כימיים קוולנטיים, והתברר לבסוף שרק התפתחות מכניקת הקוונטים המלאה תסביר בצורה מספקת קשרים מסוג זה. כבר ב-1887 מדדו מייקלסון ומורלי את הפיצול בקו הפליטה האדום בספקטרום המימן. חוסר היכולת להסביר את המבנה הדק הזה בעזרת התאוריה של בוהר היה גורם משמעותי להבנה שגם מודל זה אינו מהווה הסבר מלא למבנה האטומי.

זומרפלד (Sommerfeld) עידן את המודל של בוהר ב-1916 על ידי שילוב של תורת היחסות הפרטית במודל, ובכך הצליח לחשב את הפיצול העדין בספקטרום המימן. החישובים אומתו בניסוי על ידי פשן (Paschen) בגרמניה ב-1916.

מאפיינים מתמטיים של הפתרון

ניתן לכתוב כל מצב של אטום המימן (התיאור הפונקציונלי של ענן ההסתברות של האלקטרון) כסופרפוזיציה של מצבים עצמיים. מצבים עצמיים הם היחידות הבסיסיות שאיתן ניתן להרכיב כל פתרון אפשרי. מצב עצמי מאופיין על ידי ארבעה מספרים קוונטיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n , \ell , m , m_gs} .

הדמיית האורביטלים (ענני הסתברות) של האלקטרון באטום המימן. הצבעים מציינים פאזה. האותיות הן סימונים מקובלים לאורביטלים עם הערכים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell = 0 , 1 ,2 } בהתאמה. כפי שניתן לראות המסלולים נהיים מורכבים יותר ככל שעולים במספרים הקוונטיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle m,\ell } .
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell = 2 \; (d)}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=0 \,\!} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=0 \,\!} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m= \pm 1 \,\!} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=0 \,\!} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m= \pm 1 \,\!}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=1 \,\!}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2 \,\!}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=3 \,\!} קובץ:P3M0.png קובץ:P3M1.png
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=4 \,\!} קובץ:S4M0.png קובץ:D4M0.png קובץ:D4M1.png
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n=5\,\!} קובץ:P5M0.png קובץ:D5M2.png

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \,\! } מציין את מספר האנרגיה, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell} את מספר התנע הזוויתי. מספרים אלו מאפיינים את ההתנהגות הכללית של הפתרון. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m , m_s \,\!} מציינים את המספר המגנטי של הספין ואת המספר המגנטי בהתאמה. כפי ששמם מרמז, הם מאפיינים את התנהגות הפתרון בנוכחות שדה מגנטי. בהיעדר שדה מגנטי, לא ניתן להבחין בין פתרונות עם מספרים מגנטיים שונים.

מספר האנרגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \,\!}

הערך של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \,\!} מציין את רמת האנרגיה של האלקטרון. הוא מקבל את הערכים . כתוצאה מכך לא כל רמה אנרגטית אפשרית, אלא רמות מסוימות בלבד. הקשר בין האנרגיה לעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \,\!} נתון על ידי:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle E_{n}=-{\frac {R_{y}}{n^{2}}}=-{\frac {13.6}{n^{2}}}eV}

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_y = \frac{ m_e e^4 }{ 8 h^2 \epsilon_0^2} = 13.6 eV \,\!} נקרא קבוע רידברג. זוהי כמות האנרגיה הדרושה כדי ליינן (לשחרר) אלקטרון ברמת האנרגיה הראשונה באטום המימן.

מסת המנוחה של האלקטרון

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e \,\!} מטען האלקטרון

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \,\!} קבוע פלאנק

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_0 \,\!} פרמאביליות הריק

מספר התנע הזוויתי l

התנע הזוויתי האורביטלי של אטום המימן מקבל את הערכים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell = 0,1,2, \ldots ,n-1} ומקושר לתנע הזוויתי לפי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left | L \right | ^2 = \hbar ^2 \ell \left( \ell + 1 \right)}

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar} קבוע פלאנק המצומצם ונתון על ידי

המספר המגנטי m

המספר המגנטי אמנם מובחן רק כאשר מופעל שדה מגנטי חיצוני, אך המשמעות הפיזיקלית שלו היא הגודל של רכיב z (הציר נבחר באופן שרירותי) של התנע הזוויתי. ערכיו הם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m = - \ell , -(\ell -1) , \ldots , (\ell -1) , \ell} והקשר בינו לבין רכיב z של התנע הזוויתי הוא:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle L_{z}=\hbar m}

בחירת הציר היא שרירותית, ואפשר לתאר את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \,\!} כהיטל על כיוון כלשהו. הקונבנציה היא לבחור את ציר z. תכונה חשובה של אופרטורי תנע זוויתי היא שהם אינם קומוטטיביים (כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left [ \hat{L}_i , \hat{L}_j \right ] \neq 0} ). כיוצא בזאת, לא ניתן לדעת בו זמנית היטלים שונים של התנע הזוויתי - לא ניתן לדעת בו זמנית את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_x , L_y , L_z \,\! } (תכונה זו נובעת מעיקרון אי-הוודאות של הייזנברג). לכן היטל על ציר אחד, מספר אחד, מתאר את רכיבי התנע הזוויתי בצורה המלאה ביותר האפשרית.

המספר המגנטי של הספין ms

האלקטרון הוא בעל ספין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{2}} , לכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_s = \pm \frac{1}{2} \,\!} . גם כאן הכוונה לרכיב z של הספין, וציר זה נבחר באופן שרירותי. הקשר לרכיב z של הספין הוא:

ניוון

המשמעות של ניוון בהקשר זה היא שפתרונות עם שונים, לדוגמה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{2 0 0 \frac{1}{2}} , \psi_{2 1 1 \frac{1}{2}} \,\!} , הם בעלי אותה אנרגיה. אפשר להבין מדוע זה מתאפשר כאשר מתבוננים בביטוי לאנרגיה, הוא אינו תלוי במספרים הקוונטיים האחרים. באופן כללי, ניוון נובע מסימטריה של המערכת. זאת מפני שאופרטורי סימטריה הם קומוטטיביים עם ההמילטוניאן. הניוון בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m , m_s \,\!} הוא הגורם לאפקט זימן הנורמלי והאנומלי. כאשר מפעילים שדה מגנטי חיצוני, מוסר הניוון, ומופיעות רמות אנרגיה חדשות (קווים חדשים בספקטרום האנרגיה). בנוסף, הניוון תורם לאנטרופיה של המערכת.

מקור הניוון ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \,\!} (א')

הניוון ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \,\!} נובע מהסימטריה תחת סיבוב של ההמילטוניאן. באופן עקרוני, תכונה זו אינה ייחודית לפוטנציאל קולומבי, אלא תנבע מכל פוטנציאל איזוטרופי (פוטנציאל שזהה בכל הכיוונים). מפני שיש סימטריה, ניתן להגדיר אופרטורים אשר חילופיים עם ההמילטוניאן. משמעות הדבר היא שמצבים שונים הם בעלי אותה אנרגיה.

במקרה של הניוון בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \,\!} , האופרטורים שמגדירים הם . אלו נקראים אופרטורי העלאה והורדה או אופרטורי סולם (Ladder Operators). הפעולה שלהם היא להגדיל או להקטין את הערך של m ביחידה אחת בהתאמה. מפני שאופרטורים אופרטורים אלו חילופיים עם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H\,\!} , יש בידינו אוסף מצבים שונים, שהם בעלי אנרגיה זהה.

מקור הניוון ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell \,\!} (ב')

הניוון ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell \,\!} ייחודי לפוטנציאלים מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V \propto \frac{1}{r}} . פוטנציאלים מוכרים מצורה זו הם: פוטנציאל קולומב והפוטנציאל הגרביטציוני. בעבור פוטנציאלים מסוג זה, יש סימטריה רב ממדית, שעבורה וקטור לפלס-רונגה-לנץ נשמר. סימטריה זו היא הסימטריה שיוצרת את הניוון בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell} . אופרטור הסימטריה במקרה זה הוא מורכב, ומוגדר כ- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_1^{\pm1} = \mp \frac{N_x \pm i N_y}{\sqrt{2}} , N_0^1 = N_z} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_i = \frac{1}{2m} \left( P_i \times L_i - L_i \times P_i \right) - \frac{e^2 R_i}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}} .

פתרון המשוואה

נתחיל בפתרון משוואת שרדינגר תחת ההנחה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(\vec{r})=V(|\vec{r}|)=V(r)} , כלומר תחת ההנחה שהפוטנציאל תלוי ברדיוס בלבד. נשים לב שמפוטנציאל כזה נצפה לפי משפט נתר שיקיים שימור תנע זוויתי (כפי שניתן לראות מהניוון בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell} ). נכתוב את המשוואה באמצעות נוסחת לפלסיאן בקואורדינטות כדוריות: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\psi=-\frac{\hbar^2}{2m\cdot r^2sin\theta}[sin\theta \frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial\psi}{\partial r})+\frac{\partial}{\partial\theta}(sin\theta\frac{\partial\psi}{\partial\theta})+\frac{1}{sin\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial\varphi^2}]} . כעת יש להפריד משתנים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(r,\theta,\varphi)=R(r)\cdot Y(\theta, \varphi)} , ואם נפתח את המשוואה נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lcl} -\ell(\ell+1)Y & = & \frac{1}{sin\theta}\frac{\partial Y}{\partial \theta}+\frac{1}{sin^2\theta}\cdot\frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2} \\ E\cdot R(r) & = & \underbrace{ -\frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial R}{\partial r}) }_{I} +(V(r)+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2})R(r) \end{array}} . אם נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(r)=r\cdot R(r)} נקבל שמה שסימנו בI שווה בעצם ל. אם נסמן כפי שמקובל , נקבל את המשוואה (הכללית, לכל פוטנציאל רדיאלי) הבאה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}u^{\prime\prime}+V_{eff}(r)\cdot u=Eu} . עכשיו, אם ניזכר בהגדרת אופרטור התנע הזוויתי בקואורדינטות כדוריות נקבל שהמשוואה שלנו עבור Y היא בדיוק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2Y=\hbar^2\ell(\ell+1)} . מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [L_z,H]=[L^2,H]=[L^2,L_z]=0} וניתן לקחת סט וקטורים שהוא ו"ע של כל אחד מהווקטורים האלו. נסמן אם כך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_zY=m\hbar Y} (נשים לב שבחרנו את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m, \ell} להיות חסרי יחידות). נתחיל מהמשוואה הפשוטה יותר, שעוסקת בתנע הזוויתי בכיוון z - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_zY(\theta,\varphi)=-i\hbar\frac{\partial Y(\theta, \varphi)}{\partial\varphi}=\hbar mY(\theta, \varphi)} . אם נפריד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y(\theta, \varphi)=\Theta(\theta)\Phi(\varphi)} נקבל שהחלק התלוי בθ מצטמצם, וקיבלנו . מהנרמול נקבל את הקבוע A, ומהדרישה נקבל שm חייב להיות שלם. סה"כ - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}} ותנאי קוונטיזציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\in\mathbb{Z}} . כעת, אם נגדיר אופרטורים (מבחינה פיזיקלית ניווכח בהמשך שאלו אופרטורי סולם) נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle L_{\pm }L_{\mp }=L^{2}-L_{z}^{2}\pm \hbar L_{z}} , וכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_\pm^\dagger=L_\mp} . כעת, אם נתבונן במצב הקוונטי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\ell m\rangle} (שהוא, אם ניזכר, סימן שלנו למצב קוונטי בו מתקיים(הפונקציות שלנו הן פונקציות עצמיות של התנע הזוויתי הכולל וגם של התנע הזוויתי בכיוון z) נקבל שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle\ell m|L_\pm L_\mp|\ell m\rangle=\langle L_\mp\ell m|L_\mp\ell m\rangle\geq 0} . מהחישוב שלנו לעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_\pm L_\mp} נקבל שהמשוואה הזו בעצם אומרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar^2(\ell(\ell+1)-m^2\pm m)=\hbar^2(\ell(\ell+1)-\pm m(\pm m+1)\geq 0} ואם נחלק בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar^2} ונשתמש בכך ש עולה, נקבל שעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |m|\leq l} . גם לאבחנה זו נמצא משמעות פיזיקלית בהמשך. אם נשתמש בעובדה נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_zL_\pm|\ell m\rangle=(L_\pm L_z\pm\hbar L_-)=\hbar(m\pm1)L_-|\ell m\rangle} . כלומר קיבלנו שאותם אופרטורים הם באמת אופרטורי סולם - מגדילים באחת או במינוס אחת את הערך העצמי של הפונקציה. למעשה, מצאנו קודם את קבוע הנרמול(שהרי קיבלנו פונקציה עצמית אבל לא בטוח שהיא מנורמלת) - שהרי חישבנו למעלה את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle L_\mp\ell m|L_\mp\ell m\rangle} . אם כך, נשתמש בכתיב של וקטורים מנורמלים ונקבל (בעזרת ידיעת הנורמה של התוצאה) שמתקיים . אם נפתור את המשוואה עבורעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Theta (\theta )} נקבל בסופו של דבר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y(\theta, \varphi)=Y_\ell^m(\theta, \varphi)} .(עבור תטא תתקבל משוואת לז'נדר המוכללת ופתרונותיה פולינומי לז'נדר הנלווים). לחלופין, ניתן להשתמש בעובדה שעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_+|\ell \ell\rangle=0} ולקבל משוואה על עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\ell \ell\rangle} ולקבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Theta_{\ell \ell}=A_l\cdot(sin\theta)^\ell} . אם נפעיל עכשיו l-n פעמים את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_-} ונדאג לנרמל, נקבל שוב הפתרון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\ell m\rangle =\frac{e^{im\varphi}}{\sqrt{2\pi}}\cdot (-1)^\ell \frac{(2\ell+1)(\ell+m)!}{(\ell-m)!}\cdot \frac{1}{2^l\cdot\ell!} \cdot\frac{1}{sin^m\theta}\frac{d}{d(cos\theta)}sin^{2\ell}\theta}

אם כך, נשארה לנו הפונקציה הרדיאלית - המשוואה היא . הפתרון הוא לקחת פעם את r לאינסוף, ופעם להשאיף אותו לאפס, וכך לקבל שהפונקציות מתנהגות בצורות מסוימות בערכים קטנים ובצורות מסוימות בערכים גדולים - ומה שנותר הוא פונקציה שיש לחשב.

ראשית, בערכים נמוכים, ניתן לקרב כל פונקציה כעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u \approx A r^a} . אם נציב פתרון כזה במשוואה, נקבל . עכשיו, עבור ערכים נמוכים של r, החלק שהולך כמו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{r}} (כלומר החלק של הפוטנציאל) הוא קטן יחסית, וכך גם החלק שלא כולל גזירה/חלוקה בחזקה של r - הכפל Eu. בהינתן ההזנחות האלו, מתקבלת המשוואה . אנחנו מקבלים שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(a-1)=\ell(\ell+1)} ובסך הכל מתקיים . עם זאת, הפתרון השלילי מתבדר ולכן אינו אפשרי - מתקיים a=l+1. כלומר, קיבלנו פונקציה מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(r)=r^{\ell+1}*h(r)} . ניחוש בערכים גדולים ייתן לנו בסופו של דבר את הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(r)=r^{\ell+1}\cdot e^{-\frac{r}{2}}\cdot L(r)} . כעת נותר לנו להציב את הניחוש במשוואה, ולראות איזו פונקציה נקבל עבור L

פונקציית הגל

לפונקציית הגל של אטום המימן בקואורדינטות כדוריות יש את המבנה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{nlm}= R_{nl} \left( r \right) Y_\ell^m \left( \theta , \phi \right)} , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{nl} \left( r \right)} נקראת הפונקציה הרדיאלית ותלויה רק בקואורדינטה הרדיאלית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r \,\!} ו נקראת הרמוניה ספרית ותלויה רק בזוויות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta , \phi \,\!} .

הפונקציה הרדיאלית

הפונקציה הרדיאלית של אטום המימן היא מהצורה הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{n \ell } \left( r \right) = \sqrt{ \left( \frac{2}{na_0} \right) ^3 \frac{ \left( n- \ell -1 \right) !}{ 2n \left [ \left( n + \ell \right ) ! \right ]}} e^{- \frac{r}{na_0}} \left( \frac{2r}{na_0} \right) ^{\ell} \left [ L _{n - \ell -1} ^{2 \ell + 1} \left( \frac{2r}{na_0} \right) \right ] }

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L _{n - \ell -1} ^{2 \ell + 1} \left( x \right)} הם פולינומי לגר המוכללים.

הוא רדיוס בוהר ונתון על ידי

הפונקציות הרדיאליות הראשונות

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{20} = \frac{1}{\sqrt{2}} a_0^{- \frac{3}{2} } \left( 1 - \frac{1}{2} \frac{r}{a_0} \right) e^{- \frac{r}{2a_0}}}

מקורות

Kragh, Helge (1999). Quantum Generations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-01206-7.  Shankar, R (1994). Principles of Quantum Mechanics. Kluwer Academic/Plenum Publisher. ISBN 0-306-44790-8.  Griffiths, David (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1. 

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. Griffiths, David (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1. 
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.