אוטומט סופי דטרמיניסטי

בתורת החישוביות, אוטומט סופי דטרמיניסטי (להלן: אס"ד) הוא מודל מתמטי, המגדיר שפה פורמלית. המודל מורכב מאוסף סופי של מצבים וכְלָלֵי מַעֲבַר ביניהם. בהינתן קלט, הבנוי מסדרה של סמלים (סימנים) מתוך א"ב (אוסף כל הסימנים האפשריים) ידוע, מתבצע מעבר סדרתי על הסמלים, ובהתאם, מתבצעים מעברים בין מצבי האוטומט – אחד עבור כל סמל. המצב ההתחלתי ידוע מראש וכל מעבר מוגדר באופן חד-ערכי ויחיד ("דטרמיניסטי") על פי הסמל הבא שנקרא. כאשר נקראים כל הסמלים שבקלט, מתבצעת בדיקה של סוג המצב בו נמצא האוטמט (המצב האחרון שאליו הגיע). אם מדובר ב"מצב מקבל", הקלט נחשב כ"מילה בשפה" של האוטומט, אחרת, הוא נחשב כמילה שאיננה שייכת לשפת האוטומט.

קבוצת כל השפות הפורמליות, המוגדרות על ידי אס"ד-ים, מכונה קבוצת השפות הרגולריות.

הגדרה פורמלית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

אס"ד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} מוגדר להיות החמישייה הסדורה הבאה:

כאשר:

  • היא (קבוצת) א"ב הקלט. כל איבר בקבוצה זו מכונה "אות".
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Q} היא קבוצה סופית של מצבים. כל מצב בקבוצה זו הוא, בהכרח, בדיוק אחד מהשניים: "מצב מקבל" או "מצב לא מקבל".
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_0} הוא המצב ההתחלתי של האס"ד (ממנו מתחיל החישוב), .
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F} היא קבוצת מצבים מקבלים, . מצב מקבל הוא מצב שמסמן שהאוטומט מחזיר תשובה חיובית. כלומר: אם בסוף הקלט האוטומט נמצא במצב מקבל, זה אומר שהקלט הוא מילה בשפה של האס"ד.
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta} היא פונקציית המעברים, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta:\Sigma\times Q\rarr Q } (לכל מצב ואות קלט מותאם מצב אחד ויחיד, ולכן, אוטומט זה נקרא דטרמיניסטי).

אופן פעולת האוטומט

האס"ד קורא את מילת הקלט (סדרת האותיות) תוך כדי מעבר בין מצביו השונים (בהתאם לפונקציית המעברים), ובסיום קריאת המילה, קובע האם היא שייכת לשפה, לפי סוג המצב אליו הגיע:

1. האס"ד מתחיל את פעולתו במצב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_0} ומקבל מילת קלט (סופית או ריקה ("מילה ריקה" היא מילה עם 0 אותיות)).

2. האס"ד בודק האם קיימות אותיות במילה:

  • 2א. אם נותרו אותיות נוספות, האס"ד קורא את האות הבאה בסדרה (אות אחת בלבד), עובר למצב חדש, לפי פונקציית המעברים, ובודק שוב אם קיימות אותיות נוספות במילה, שלא נקראו (חוזר לשלב 2).
  • 2ב. אם לא נותרו אותיות נוספות לקריאה, האס"ד יסיים את פעולתו:
    • 2ב-1. אם האוטומט נעצר (הגיע) במצב מקבל, המילה תתקבל.
    • 2ב-2. אחרת, המילה לא תתקבל.

דוגמאות לאוטומטים סופיים

אוטומט המקבל מילים המכילות מספר זוגי של אפסים

נתבונן באוטומט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\left\{\Sigma, Q, q_0, F, \delta\right\}} המוגדר כך:

  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=\left\{q_0,q_1\right\} }
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta} מתוארת בטבלת מעברים:
10עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_0} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_1} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_0}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_1} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_0} עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q_1}

אס"ד זה ניתן להצגה גם כגרף המכוון הבא:

כאשר:

  • כל מעגל מייצג מצב (שמו הייחודי רשום במרכזו), ומעגל כפול מייצג מצב מקבל (מעגל בודד מייצג מצב לא מקבל).
  • כל קשת בין שני מצבים מייצגת מעבר בין שני המצבים (בהתאם לכיוון החץ) והאות שרשומה עליה מייצגת את אות הקלט, שבעת קריאתה, יתבצע המעבר (רק אם אנו נמצאים כרגע במצב שממנו יוצא חץ זה, ובהתאם לכיוונו, כמובן).

ניתן לראות שאס"ד זה עובר ממצב אחד לאחר רק בעת קריאת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0} , וקל לראות (או להוכיח באינדוקציה), שמילה תתקבל אם ורק אם מספר המופעים של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0} בה יהיה זוגי.

אוטומט המקבל מילים המתחילות ברצף 101

האוטומט המוצג באיור דואג לכך, שמילות הקלט שיעברו דרכו יתחילו ברצף "101". א"ב האוטומט הן הספרות 0 ו-1, המצב המקבל הוא מצב Q4 (מיוצג על ידי עיגול כפול), המצב ההתחלתי (המצב שבו מתחיל האוטומט; כלומר, לפני שנקלטה אות כלשהי) הוא המצב Q1, ו-Q5 הוא "מצב מלכודת". אם אוטומט זה היה מופעל על ידי מחשב פרימיטיבי בעל מקלדת עם הכפתורים 0 ו-1 בלבד ונורה המציינת אם הקלט חוקי (בשפה) או לא, האוטומט היה מתחיל במצב Q1 והנורה הייתה כבויה. אם המשתמש היה מקליד את המחרוזת "000", או "100" בהתחלה, קריאה נוספת של כל אות הייתה גורמת למילה (הקלט) לא להיקלט על ידי האוטומט, מאחר שהוא היה מגיע למצב המלכודת Q5. מאידך, אם המשתמש היה מקיש בהתחלה את המחרוזת "101", הנורה הייתה נדלקת, כאינדיקציה לכך שהמילה חוקית (בשפה). קריאת אות נוספת (הקשה על הכפתורים 0 או 1 על ידי המשתמש) לא הייתה משנה עובדה זו, והנורה הייתה ממשיכה לדלוק. כל עוד נמצאים במצב שאינו Q4, הנורה כבויה. רק במצב Q4 הנורה דולקת.

ראו גם

לקריאה נוספת

הערות שוליים

  1. גם מצב Q4 עונה על הגדרה זו, אך מכיוון שהוא מצב מקבל, הוא מכוּנה "מלכודת מקבלת" או "מצב מלכודת מקבל".
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.