אוולוט

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma:[0,L]\to\R^2} בפרמטריזציה טבעית, אֵווֹלוּט (Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות[1] שלה.

נוסחת האוולוט היא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{E}(s)=\vec\gamma(s)+R(s)\vec n(s)=\vec\gamma(s)+\frac1{k(s)}\vec n(s)}

כאשר

  • היא עקמומיות העקומה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} – המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך , או בנוסחה מפורשת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(s)=\bigl\langle\vec\gamma''(s),\vec n(s)\bigr\rangle}
  • הוא רדיוס העקמומיות
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec n(s)} הוא וקטור יחידה הניצב לוקטור המשיק לעקומה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v}(s) = \vec{\gamma}'(s)} ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לתאר את האוולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\tau,s)\longmapsto\vec F(\tau ,s)=\vec\gamma(s)+\tau\vec n(s)}

במקום זה, המתקבל עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=\frac{1}{k(s)}} , הנורמלים בנקודות קרובות אינפיניטסימלית נחתכים ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\tau,s)} לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע כי האוולוט הוא מעטפת כל הנורמלים לעקומה[דרושה הבהרה].

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: ) על האוולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_{s_1}^{s_2}|E'(s)|ds=\int\limits_{s_1}^{s_2}\left|\left(\frac{d}{ds}R'(s)\right)\vec n(s)\right|ds=\int\limits_{s_1}^{s_2}|R'(s)|ds=\bigg|\int\limits_{s_1}^{s_2}R'(s)ds\bigg|=\bigl|R(s_2)-R(s_1)\bigr|}

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ו־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} בקשת רגולרית,

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באוולוט נמצא בכרך ה־5 של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס מפרגה (בסביבות 200 לפס"נ), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. מרכז העקמומיות לנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} הוא הנקודה בה נמצא מרכז המעגל הנושק לעקומה ב־
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.