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점화식에 관한 간단한 예제 문제와 논술형 문제를 해결해봅시다.

유형 1 : 꼴의 점화식 ( )

예제 1

이고, 을 만족할 때, 일반항 을 구하시오.

예제 2

이고, 을 만족할 때, 일반항 을 다음과 같이 나타내었다.

( 은 자연수 ) 이때,

의 값을 구하시오.

유형 2 : 꼴의 점화식 ( 단, 은 정수 )

예제 1

이고, 을 만족할 때, 일반항 을 다음과 같이 나타내었다.

( 은 자연수 ) 이때,

의 값을 구하시오.

논술형 문제

양의 정수 에 대하여 집합 은 다음과 같다.

, 의 배수

이때, 의 원소의 개수는 이다.

의 값을 구하시오.

일 때, 의 관계식을 구하시오.

에 대한 식으로 나타내시오.

문제 풀이

문제 풀이에 앞서 위와 같은 문제를 풀기 위해서는 점화식에 대하여 기본적인 이해와 해결 능력이 필요합니다.

점화식에 대한 자세한 내용은 위키백과 점화식을 참고하시면 될 것 같습니다.

유형 1

예제 1

준 식 의 다음항을 구해보면,

위 식에서 준 식을 빼주면, 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 인 등비수열이 되고, 식은 다음과 같다.

( ) 등비수열 의 일반항을 구해보면,

이다. 이때, 이므로,

이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서 이므로,

예제 2

준 식 의 다음항을 구하여 준 식을 빼주면,

계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 인 등비수열이 되고 식은 다음과 같다.

( ) 등비수열 의 일반항은 임을 이용하여

의 일반항을 구해보면, 이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서

이므로,

그러므로, 임을 구할 수 있다.

여기서, 이고, 일반항 에 의해서 ,

따라서, 이므로,

유형 2

예제 1

준 식 에서 양변을 로 나누어주면,

이는, 첫째 항이 이고, 공차가 인 등차수열이다.

따라서, 이고, 주어진 조건에 의하여 식을 정리하면,

이므로, 이때, 를 만족하므로,

임을 구할 수 있다. 여기서, 이고, 일반항 에 의해서 ,

따라서, 이므로,

논술형 문제 [1]~[3]

[1]

양의 정수 에 대하여 집합 은 다음과 같다.

, 의 배수

이때, 의 원소의 개수는 이다.

위 조건에 의해서 , 의 배수 이다.

I) 일 때,

이므로,

이때의 원소의 개수는 개이다.

II) 일 때,

이므로,

이때의 원소의 개수는 개이다.

따라서, 의 값은 이다.

[2]

, 의 배수 에서

조건을 고려하지 않았을 때 만들어 질 수 있는 모든 순서쌍들의 개수는 개이다.

이때, 조건을 만족하는 순서쌍들의 개수는 이므로,

조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수는 개로 나타낼 수 있다.

또한, 으로 치환하여 정리하면 다음과 같은 등식이 성립한다.

( 은 조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수 )

여기서, 예시를 들어 관계식을 유도해보면,

순서쌍 은 문제에서 주어진 조건을 만족하지 못한다. 따라서 이는 에 해당된다.

그러나, 순서쌍 을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 에 해당된다.

순서쌍 에서도 마찬가지이다. 순서쌍 는 주어진 조건을 만족하지 못하므로 이는 에 해당된다.

그러나, 순서쌍 을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 에 해당된다.

이러한 예시들에 의하여 다음과 같은 관계식이 성립함을 알 수 있다.

이때, 를 만족하므로, 의 관계식은

[3]

에서 구한 의 관계식을 이용하여 에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

관계식 에서 양변을 로 나누어 주면,

이고, 이는 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 인 등비수열이므로,

이다. , 이므로,

이다.

따라서, 이다.

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