H树

分形几何中,H树是一种分形树结构,由互相垂直线段构成,其中任意一条线段的长度都是次一级线段的 倍。它因类似于字母“H”的重复图案而得名。它的豪斯多夫维数为2,能任意接近矩形中的每一点。其应用包括超大规模集成电路设计和微波工程。

H树的前十层

构造

H树可从任意长度的线段开始构造,首先在该线段的两个端点作出两条垂线,如此反复,同时将每级绘制的线段长度缩短 倍。[1]

另一种生成相同分形集的方法是从一个边长比为1: 的矩形(称为“银矩形”)开始,将其重复平分为两个较小的银矩形,每级中用线段连接两个较小矩形的几何中心。可以在其他任意形状的矩形中进行类似的过程,但在银矩形中,每级线段长度以 倍均匀减小,而对于其他矩形,长度会以奇偶交替的方式以不同的倍率减小。

性质

H树是自相似的分形;其豪斯多夫维数为2。[2]

H树的节点能任意接近矩形中的每一点(划分出的矩形的质心对于用于构建的原矩形也一样)。然而,其并不包括矩形内的所有点,如初始线段的垂直平分线。

应用

在超大规模集成电路的设计中,H树可以作为完全二叉树布局,其总使用面积与树节点的数目成正比[3]。此外在图表绘制中,H树布局能节省空间[4],可作为点集结构的一部分[5]

它通常用于时钟分配网络,以将时钟信号路由至芯片各处,而传播延迟相同[6],还用作VLSI多处理器中的互连网络[7]。出于同样的原因,H树还用于微带天线阵列的排布上,以使每个独立的微带天线获得的无线信号有相等的传播延迟。

平面H树可以经由在H树平面垂直方向添加线段而推广到三维结构[8]。所得三维H树的豪斯多夫维数为3。已经发现光子晶体和超材料中的人造电磁原子构成了平面及立体H树的结构,还可能在微波工程中有潜在应用[8]

有关分形集

H树是分形冠的一个例子,其中相邻线段所成角始终为180度。就其能任意接近边界矩形中每个点的性质而言,它又像是一条空间填充曲线,虽然它本身并不是一条曲线。

拓扑学上,H树有类似于树枝状的性质。但它并不是枝状的:枝状必须为闭集,而H树未封闭(其闭包为整个矩形)。

曼德尔布罗树是一个与之密切相关的分形,它使用矩形而不是线段,且与H树的位置略有偏差,以使外观更自然。为了抵偿部件宽度的增加,避免自重叠,每级部件的缩小倍数必须比 稍大。[9]

  1. H-Fractal, Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
  2. Kaloshin & Saprykina (2012).
  3. Leiserson (1980).
  4. Nguyen & Huang (2002).
  5. Bern & Eppstein (1993).
  6. Ullman(1984); Burkis(1991).
  7. Browning(1980). See especially Figure 1.1.5, page 15.
  8. Hou et al.(2008); Wen et al.(2002).
  9. 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.

参考

扩展阅读

  • Kabai, S., , Püspökladány, Hungary: Uniconstant: 231, 2002.
  • Lauwerier, H., , Princeton, NJ: Princeton University Press: 1–2, 1991.

外部链接

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