1-形式

线性代数中,1-形式()是向量空间上的一種线性泛函。1-形式在这种向量空间语境中的使用方式,通常区别於高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函

在三維歐幾里得空間裡,1-形式 αβ 與它們的和是線性泛函,向量 uvw也是線性泛函。任意向量穿插過的任意1-形式超平面等於兩者的內積[1]

微分几何中,可微流形上的1-形式是余切丛的一个光滑截面。具体说来,流形 M 上的1-形式是M切丛全空间R 的一个光滑映射,限制在每个纤维上是切空间上的线性泛函。用符号表示,

这里 αx 是线性的。

1-形式经常局部地描述,特别是在一个局部坐标中。在一个局部坐标系中,1-形式是坐标的微分的线性组合:

这里 fi 是光滑函数。注意这里使用上指标,不要与幂混淆。从这种观点来看,一个 1-形式从一个坐标系变到另一个时有共变变换法则。从而一个 1-形式是秩 1 共变张量场

特例

爲一开集(譬如一个区间 ),考虑可微函数 ,具有导数 f'f微分 df,在一点 ,定义为变量 dx 的某个线性映射。具体地, 。(从而符号 dx 的含义揭示出来了:它不过是 df 的一个参数,或独立变量。)故映射 将每个点 x 送到一个线性泛函 。这是微分(1-)形式最简单的例子。

德拉姆复形表示,从 0-形式(数量函数)到 1-形式有一个映射,即

一个 1-形式称为闭 1-形式如果它是可微的且它的外导数在任何地方等于 0。

另见

  • 2-形式
  • 倒晶格
  • 张量的中间处理

参考文献

  1. J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. . W.H. Freeman & Co. 1973: 57. ISBN 0-7167-0344-0.
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