三尖瓣线

三尖瓣线(tricuspoid)也稱為Steiner曲線(Steiner curve),是有三個尖點圆内螺线,是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時,圓上一點產生的一般旋轮线

紅色的即為三尖瓣线

三尖瓣线也可以指有三個頂點,之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間,因此三尖瓣线內的空間是非凸集合[1]

方程式

三尖瓣线可以用以下的參數方程表示:

其中a是小圓的半徑,b是大圓(也就是小圓在其內側無滑動滾動)的半徑(此處b = 3a)。

在複變座標下可得

.

上述的t可以消去,得到以下的笛卡爾座標下的方程

因此三尖瓣线是四階的代數曲線,在極坐標下為

曲線有三個奇點,是對應 的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線,也就表示其幾何虧格為零。

三尖瓣线的對偶曲線

在原點有一個二重點,若進行一個虛軸上的旋轉y ↦ iy,曲線會變為下式,就可以看到其二重點

在實平面的原點上有二重點。

面積及周長

三尖瓣线的面積為 ,其中a為小圓的半徑,其面積是小圓面積的兩倍[2]

其周長為16a[2]

歷史

早在1599年時,伽利略·伽利莱马兰·梅森就已開始研究常見的摆线,而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時,也有用到摆线。李昂哈德·歐拉認為他是最早(1745年)將三尖瓣线應用在實際光學問題的人。

應用

三尖瓣线有應用在許多的數學領域中,舉例如下:

  • 三維unistochastic矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣线。
  • SU(3)裡所有酉矩阵的可能跡的集合會組成三尖瓣线。
  • 二個三尖瓣线的交集會形成一群6階的複數Hadamard矩陣
  • 三角形的所有西姆松線的集合,其包絡線會是三尖瓣线。因為Jakob Steiner在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性,因此此曲線稱為這稱為Steiner三尖瓣线,[3]
  • 三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣线,三個頂點是中線的中點。三尖瓣线的三邊是双曲线的弧[4][5]
  • 三尖瓣线屬於掛谷集中的掛谷針集合(Kakeya needle set,長度為1的針可以在其中旋轉360度),有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題(Kakeya needle problem,面積最小小的掛谷針集合)的解,後來發現不是。

相關條目

参考资料

  1. Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html
  2. Lockwood
  3. Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.
  • E. H. Lockwood. . . Cambridge University Press. 1961.
  • J. Dennis Lawrence. . Dover Publications. 1972: 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
  • Wells D. . New York: Penguin Books. 1991: 52. ISBN 0-14-011813-6.
  • "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index
  • "Deltoid" at MathCurve
  • Sokolov, D.D., , (编) Hazewinkel, Michiel, , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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