七階三角形鑲嵌

幾何學中,七階三角形鑲嵌英语:Order-7 triangular tiling)是一種由正三角形拼合,並且以七個三角形為單位,重複排列組合,並讓圖形完全拼合,而且沒有空隙或重疊的幾何構造。

七階三角形鑲嵌

龐加萊圓盤模型
類別雙曲正鑲嵌
頂點圖37
考克斯特符號
施萊夫利符號{3,7}
威佐夫符號7 | 3 2
對稱群[7,3], (*732)
對偶正七邊形鑲嵌
特性Vertex-transitive, edge-transitive, face-transitive

37
頂點圖

正七邊形鑲嵌
(對偶多面體)

七階三角形鑲嵌每個頂點有七個正三角形,因此每個頂點的角度為60×7=420度,超過360度,因此無法在平面構造,是一種雙曲正鑲嵌,在施萊夫利符號中用{3,7}來表示。

赫爾維茨曲面

七階三角形鑲嵌的對稱群是(2,3,7)三角群,且其根本域為(2,3,7)施瓦茨三角形。這是最小的雙曲施瓦茨三角形,因此,由赫爾維茨的同構定理的證明,該鑲嵌完全密鋪整個赫爾維茨曲面黎曼曲面與最大對稱群),給出一個三角對稱群等於其構群為黎曼曲面

其中最小的是克萊因商(Klein quartic),最對稱的3虧格曲面,由56個三角形鑲嵌在一起,形成24個頂點,帶有168階的單群對稱群,即所謂的PSL(2,7)。所得到的曲面可以反過來多面體化構造進歐幾里得空間而得到小立方立方八面体(Small cubicuboctahedron)[1]

其對偶七邊形鑲嵌具有相同的對稱群,因而產生七邊形鑲嵌赫爾維曲面。


七階三角形鑲嵌的對稱群是(2,3,7)根本域為(2,3,7)施瓦茨三角形的三角群。

小立方立方八面体是一個進入克萊因商的多面體[1],就好比赫爾維茨曲面是該鑲嵌的商。

相關多面體及鑲嵌

七階三角形鑲嵌和兩種星形鑲嵌擁有相同的頂點布局,七階七角星鑲嵌{7/2,7}和二分之七階七邊形鑲嵌{7,7/2}。

七階三角形鑲嵌在拓扑上与一系列用施萊夫利符號{3,n}表示的(广义)多面体一直延伸到双曲镶嵌擁有相似的結構:

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌

{3,2}

{3,3}

{3,4}

{3,5}

{3,6}

{3,7}

{3,8}

{3,9}
...
{3,∞)

威佐夫結構中可得到8種不同的半正鑲嵌

半正七邊形/三角形鑲嵌
對稱群:[7,3], (*732) [7,3]+, (732)
{7,3} t{7,3} r{7,3} 2t{7,3}=t{3,7} 2r{7,3}={3,7} rr{7,3} tr{7,3} sr{7,3}
半正對偶
V73 V3.14.14 V3.7.3.7 V6.6.7 V37 V3.4.7.4 V4.6.14 V3.3.3.3.7

參見

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參考文獻

  1. Richter Note each face in the polyhedron consist of multiple faces in the tiling – two triangular faces constitute a square face and so forth, as per this explanatory image.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
  • . . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
  • Richter, David A., , [2010-04-15]

外部連結

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