Γ函数

在數學中, 函数,也叫做伽瑪函數(Gamma函数),是階乘函數在實數複數域上的擴展。如果 正整數,則:

Γ函數在實軸上的函數圖形

對於實數部份為正的複數 ,伽瑪函數定義為:

此定義可以用解析開拓原理,拓展到除去非正整數的整個複數域上。

概率論中常見此函數,在組合數學中也常見。

定義

函數可以通过欧拉(Euler)第二类积分定義:

对复数 ,我们要求

函數还可以通过对 泰勒展开解析延拓到整个复平面

这样定义的 函數在全平面除了 以外的地方解析。

函數也可以用无穷乘积的方式表示:

这说明 是亚纯函数,而 是全纯函数

無窮乘積

函數可以用無窮乘積表示:

其中 欧拉-马歇罗尼常数

積分

递推公式

函数的递推公式为:

对于正整数 ,有

可以说 函数是階乘的推廣。

递推公式的推导

我们用分部积分法来计算这个积分:

时, 。当 趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:

因此第一项 变成了零,所以:

等式的右面正好是 。因此,递推公式为:

重要性质

  • 時,
  • 歐拉反射公式
由此可知当 时,
  • 乘法定理:
  • 此外

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

  • 極限性質

對任何實數α

斯特靈公式

Γ函數與斯特靈公式
(藍色)、 (橘色),數字越大 會越趨近 。但 會在負值則會因為出現虛數而無法使用。

斯特靈公式能用以估計 函数的增長速度。公式為:

其中e約等於2.718281828459

特殊值

导数

Γ函數的微分
Γ函數(藍色)、Γ函數的微分(橘色),其中,大於50與小於-30的部分被截掉。

對任何複數z,滿足 Re(z) > 0,有

於是,對任何正整數 m

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數

复数值

解析延拓

Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在 函數的積分定義中若取 為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

並注意到函數 在整個複平面上有解析延拓,我們可以在 時設

從而將 函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在 有單極點,留數為

程式實現

許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数,例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意實数的伽玛函数的值。

  • 例如在EXCEL中:EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925

而在沒有提供Γ函数的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[1],已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位:

参见

參考文獻

外部链接

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