รูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยม
Six Quadrilaterals.svg
รูปสี่เหลี่ยมต่าง ๆ หกชนิด
ขอบและจุดยอด 4
สัญลักษณ์ชเลฟลี {4} (สำหรับจัตุรัส)
พื้นที่ คำนวณได้หลายวิธี;
ดูด้านล่าง
มุมภายใน (องศา) 90° (สำหรับจัตุรัส)

ในเรขาคณิตแบบยูคลิด รูปสี่เหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน (หรือขอบ) และมุมสี่มุม (หรือจุดยอด)

รูปสี่เหลี่ยมมีทั้งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่าย (ไม่มีด้านที่ตัดกันเอง) และรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน (มีด้านที่ตัดกันเอง หรือเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมไขว้) รูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน (convex) หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า (concave) อย่างใดอย่างหนึ่ง

มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายรวมกันได้ 360 องศา ส่วนรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน เนื่องจากมุมภายในที่ด้านตรงข้ามเป็นมุมกลับ ทำให้รวมกันได้ 720 องศา [1]

รูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถปูเต็มปริภูมิโดยการหมุนรอบจุดกึ่งกลางที่ด้านของมัน

เนื้อหา

การจำแนกชั้น

การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยม รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า

การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ตามแผนภาพทางขวามือ รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า คำว่า trapezium ในภาพเป็นชื่อแบบบริเตน (ชื่อแบบอเมริกันคือ trapezoid) คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั่วไป และ kite นอกจากจะหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวแล้ว ยังหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศรด้วย

รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ

รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

Area = \frac{1}{2} |{AC}\times{BD}|

ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น (x_1, y_1) และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น (x_2, y_2) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

Area = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น [3]

Area = \frac{1}{2} pq \cdot \sin \theta

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น \tfrac{1}{2} pq เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°

สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) [4] คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้


\begin{align}
Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 %2B \cos (\gamma %2B \lambda) ]} \\
&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{\gamma %2B \lambda}{2} \right) \right]} \\
s &= \frac{1}{2} (a%2Bb%2Bc%2Bd) \\
\end{align}

เมื่อ a, b, c, d คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°

อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)

Area = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \gamma %2B \frac{1}{2}ad \cdot \sin \lambda

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น

Area = \frac{1}{2}(bc%2Bad)\sin \gamma

และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง ab \cdot \sin \gamma

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม [5]


\begin{align}
Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac%2Bbd%2Bpq)(ac%2Bbd-pq)} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{4p^{2}q^{2}- \left( a^{2}%2Bc^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}} \\
\end{align}

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ pq=ac%2Bbd

นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° [6]

Area = \frac{|\tan \theta|}{4} \cdot \left| a^2 %2B c^2 - b^2 - d^2 \right|

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น

Area = \frac{|\tan \theta|}{2} \cdot \left| a^2 - b^2 \right|

สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ

สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ

อ้างอิง

  1. ^ Stars: A Second Look, p. 2
  2. ^ M.P. Barnett and J.F. Capitani, Modular chemical geometry and symbolic calculation, International Journal of Quantum Chemistry, 106 (1) 215--227, 2006.
  3. ^ Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310-311.
  4. ^ R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, 2007, Dover Publ., p. 82.
  5. ^ E. W. Weisstein. "Bretschneider's formula". MathWorld -- A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Bretschneider'sFormula.html. 
  6. ^ 6.0 6.1 Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 93, July 2009, 306-309.
  7. ^ Hoehn, Larry, "Circumradius of a cyclic quadrilateral," Mathematical Gazette 84, March 2000, 69-70.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
  9. ^ 9.0 9.1 Buchholz, R. H., and MacDougall, J. A. "Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression", Bull. Austral. Math. Soc. 59 (1999), 263-269. http://journals.cambridge.org/article_S0004972700032883

แหล่งข้อมูลอื่น

Commons:Category
คอมมอนส์ มีภาพและสื่ออื่น ๆ เกี่ยวกับ:
รูปสี่เหลี่ยม