sinc

sinc (от лат. sinus cardinalis — «кардина́льный си́нус») — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — соответственно, для нормированной и ненормированной функции sinc:

  1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
  2. В математике ненормированная функция sinc определяется как

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

  • Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc совпадают со значениями косинуса, то есть там, где производная равна нулю (локальный экстремум в точке ), выполняется условие .
  • Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.
  • Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc(x).
,
где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.
  • Разложение в бесконечное произведение:
где  — гамма-функция.

Использование и приложения

  • Как преобразование Фурье прямоугольной функции, sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д.
  • Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
  • В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
  • Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
  • Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности.
  • Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
  • Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.

Обработка сигналов

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также

  • Сглаживание
  • sinc-фильтр
  • Атомарная функция
  • Интегральный синус
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.