3-3 дуопризма

3-3 дуопризма или треугольная дуопризма, наименьшая из p-q дуопризм, это четырёхмерный многогранник, получающийся прямым произведением двух треугольников.

3-3 дуопризма

Диаграмма Шлегеля
TypeОднородная дуопризма
Символ Шлефли{3}×{3} = {3}2
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Ячеек6 треугольных призм
Граней9 квадратов,
6 треугольников
Рёбер18
Вершин9
Вершинная фигура
Равногранный тетраэдр
Симметрия[[3,2,3]] = [6,2+,6], order 72
Двойственный3-3 дуопирамида
Свойствавыпуклый, вершинно однородный, гранетранзитивный

Многогранник имеет 9 вершин, 18 рёбер, 15 граней (9 квадратов и 6 треугольников) в 6 ячейках в форме треугольных призм. Он имеет диаграмму Коксетера и симметрию [[3,2,3]] порядка 72. Его вершины и рёбра образуют ладейный граф.

Гиперобъём

Гиперобъём однородной 3-3 дуопризмы с рёбрами длины a равен . Он вычисляется как квадрат площади правильного треугольника, .

Изображения

Ортогональные проекции
Развёртка Вершинная перспектива 3D перспективная проекция с 2 различными вращениями

Симметрия

В 5-мерных пространствах некоторые однородные многогранники имеют 3-3 дуопризму в качестве вершинных фигур, некоторые с неравными длинами рёбер, а потому с меньшей симметрией:

Симметрия [[3,2,3]], order 72 [3,2], order 12
Диаграмма
Коксетера

Диаграмма
Шлегеля
Название t2α5 t03α5 t03γ5 t03β5

Биспрямлённые 16-ячеечные соты также имеют 3-3 дуопризму в качестве вершинных фигур. Имеется три построения для сот с двумя меньшими симметриями.

Симметрия [3,2,3], порядок 36 [3,2], порядок 12 [3], порядок 6
Диаграмма
Коксетера
Косая
ортогональная
проекция

Связанные комплексные многоугольники

Правильный комплексный многогранник 3{4}2, в имеет вещественное представление как 3-3 дуопризма в 4-мерном пространстве. 3{4}2 имеет 9 вершин и 6 3-рёбер. Его группа симметрии 3[4]2 имеет порядок 18. Многогранник имеет также построение с меньшей симметрией или 3{}×3{} с симметрией 3[2]3 порядка 9. Эта симметрия возникает, если красные и синие 3-рёбра считать различными[1].


Перспективная проекция

Ортогональная проекция с совпадающими центральными вершинами

Ортогональная проекция со смещением, чтобы избежать наложение элементов.

Связанные многогранники

k22 фигуры в n-мерных пространствах
Пространство Конечное Евклидово Гиперболическое
n 4 5 6 7 8
Группа
Коксетера
2A2 A5 E6 =E6+ =E6++
Диаграмма
Коксетера
Симметрия [[3<sup>2,2,-1</sup>]] [[3<sup>2,2,0</sup>]] [[3<sup>2,2,1</sup>]] [[3<sup>2,2,2</sup>]] [[3<sup>2,2,3</sup>]]
Порядок 72 1440 103,680
Граф
Название -122 022 122 222 322

3-3 дуопирамида

3-3 дуопирамида
TypeОднородная двойственная дуопирамида
Символ Шлефли{3}+{3} = 2{3}
Диаграмма Коксетера
Ячейки9 равногранных тетраэдров
Грпани18 равнобедренных треугольников
Рёбер15 (9+6)
Вершин6 (3+3)
Симметрия[[3,2,3]] = [6,2+,6], order 72
Двойственный3-3 дуопризма
Свойствиявыпуклый, вершинно однородный, гранетранзитивный

Двойственный многогранник для 3-3 дуопризмы называется 3-3 дуопирамидой или треугольной дуопирамидой. Он имеет 9 ячеек в виде равногранных тетраэдров, 18 треугольных граней, 15 рёбер и 6 вершин.

Многогранник можно рассматривать в ортогональной проекции как 6-угольник, в котором рёбра соединяют все пары вершин, точно как в 5-симплексе.


ортогональная проекция

Связанный комплексный многоугольник

Комплексный многоугольник 2{4}3 имеет 6 вершин в с вещественным представлением в с тем же расположением вершин как у 3-3 дуопирамиды. Многогранник имеет 9 2-рёбер, соответствующих рёбрам 3-3 дуопирамиды, но 6 рёбер, соединяющих два треугольника, не включены. Его можно рассматривать в шестиугольной проекции с 3 наборами раскрашенных рёбер. Это расположение вершин и рёбер даёт полный двудольный граф, в котором каждая вершина одного треугольника связана с каждой вершиной другого. Граф называется также графом Томсена или 4-клеткой[2].


2{4}3 с 6 вершинами (синими и красными) связанные 9 2-рёбрами в виде полного двудольного графа.

Граф имеет 3 набора из 3 рёбер, показанных цветом.

См. также

Примечания

  1. Coxeter, 1991.
  2. Coxeter, 1991, с. 110, 114.

Литература

  • Coxeter H.S.M. Regular Polytopes. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Coxeter H.S.M. Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — С. 212-213. — ISBN 0-486-40919-8.
    • Coxeter H.S.M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions // Proc. London Math. Soc.. — 1937. Вып. 43. С. 33–62.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 26 // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • N.W. Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (Manuscript).
    • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
  • Catalogue of Convex Polychora, section 6] George Olshevsky
  • Glossary for Hyperspace (Словарь терминов) George Olshevsky
  • Apollonian Ball Packings and Stacked Polytopes // Discrete & Computational Geometry. — 2016. — Июнь (т. 55, вып. 4). С. 801–826.
    • H.S.M. Coxeter. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.