Аксиома счётного выбора

Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств можно построить последовательность их представителей при этом множества могут быть бесконечными и даже несчётными[1].

Место аксиомы в математике

Аксиома счётного выбора представляет собой ограниченный вариант полной аксиомы выбора ( ), в отличие от последней она утверждает существование функции выбора только для счётного семейства множеств. Как доказал Пол Коэн, аксиома счётного выбора независима от других аксиом теории множеств (без аксиомы выбора)[2]. В отличие от полной аксиомы выбора, аксиома счётного выбора не приводит к парадоксу удвоения шара или иным противоречащим интуиции следствиям.

Аксиома счётного выбора достаточна для обоснования основных теорем анализа. Из неё следует, в частности[3]:

  • для любой предельной точки существует сходящаяся к ней последовательность;
  • мера Лебега счётно-аддитивна;
  • всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Однако значительная часть утверждений теории множеств не может быть доказана с помощью аксиомы счётного выбора. Например, чтобы доказать, что каждое множество может быть вполне упорядочено, требуется полная аксиома выбора.

Существует несколько усиленный вариант называемый «аксиома зависимого выбора» ( ). Аксиома счётного выбора вытекает из неё, а также из аксиомы детерминированности.

Литература

  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. — 368 с. — Глава 3, § 4.
  • Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. М.: Наука, 1984. — 64 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
  • Медведев Ф. А. Ранняя история аксиомы выбора. М.: Наука, 1982. — 304 с. Архивная копия от 28 октября 2015 на Wayback Machine
  • Медведев Ф. А. Аксиома выбора и математический анализ // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1980. № 25. С. 167-188.
  • Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств = Handbook of Mathematical Logic / Барвайс Дж.. М.: Наука, 1983. — 392 с.
  • Herrlich, Horst. Choice principles in elementary topology and analysis (англ.) // Comment.Math.Univ.Carolinae. — 1997. — Vol. 38, no. 3. — P. 545.
  • Potter, Michael. Set Theory and its Philosophy: A Critical Introduction. — Oxford University Press, 2004. — ISBN 9780191556432.  (англ.)

Примечания

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.