Polígono

Em geometria, um polígono é uma figura fechada com lados. A palavra "polígono" vem da palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos.[1] A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que essas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.[2]

Definição

Linha poligonal

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam. Ou seja, a linha poligonal corresponde a reunião dos segmentos ..., [3][4]

Classificação

Uma linha poligonal é classificada em:

  • aberta - quando os extremos e não coincidem;
  • fechada - quando os extremos e coincidem;
  • simples - quando a interseção de qualquer dois segmentos não consecutivos é vazia;
  • não-simples - quando não é simples.

Polígono

Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal. Isto é, um polígono corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos ..., e [5]

Na literatura, também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada. Neste caso, a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal.[5]

Elementos

Um polígono possui os seguintes elementos:[5]

  • vértice - extremo de um dos segmentos que formam o polígono, i.e. são vértices os pontos ...,
  • lado - segmento que forma o polígono, i.e. são lados os segmentos ..., e
  • diagonais - segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos;
  • ângulo (interno) - ângulo formado por dois lados consecutivos, i.e. os ângulos ...,
  • ângulo externo - ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno.

Exemplo

O polígono na figura ao lado possui:

  • vértices
  • lados e
  • ângulos internos
  • diagonais e
  • ângulos externos e

Perímetro e Área

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Sua área é a medida da região poligonal definida pelo polígono.

Classificação

Quanto à linha poligonal

Um polígono pode ser classificado em simples, quando sua linha poligonal associada é simples, ou não-simples (ou complexo), quando sua linha poligonal tem cruzamentos entre seus segmentos (conjunto intersecção não-nulo).[5]

Quanto à região poligonal

Um polígono simples é dito ser convexo quando toda reta determinada por dois de seus vértices consecutivos faz com que todos os demais vértices estejam num mesmo semiplano determinado por ela. Um polígono que não é convexo é dito ser côncavo.[5] Polígonos estrelados são polígonos complexos cujas intersecções de segmentos são equidistantes entre si.[6]

Quanto à congruência

Um polígono é dito ser equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Similarmente, é dito ser equiângulo quando todos os seus ângulos são congruentes. Polígonos convexos equiláteros e equiângulos são chamados de polígonos regulares.

Quanto ao número de lados

Os polígonos também são classificados quanto ao número de lados. Em geral, um polígono de lados é chamado de -látero. Entretanto, comumente empregam-se as seguintes nomenclaturas:[5]

Nomes dos polígonos
LadosNomeLadosNomeLadosNome
1não existe11undecágono......
2não existe12dodecágono
3triângulo ou trilátero13tridecágono30triacontágono
4quadrilátero14tetradecágono40tetracontágono
5pentágono15pentadecágono50pentacontágono
6hexágono16hexadecágono60hexacontágono
7heptágono17heptadecágono70heptacontágono
8octógono18octodecágono80octacontágono
9eneágono19eneadecágono90eneacontágono
10decágono20icoságono100hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:[7]

Dezenas e Unidades sufixo
-cai- 1 -ena- -gono
20icosi-2-di-
30triaconta-3-tri-
40tetraconta-4-tetra-
50pentaconta-5-penta-
60hexaconta-6-hexa-
70heptaconta-7-hepta-
80octaconta-8-octa-
90eneaconta-9-enea-
Exemplo 1

Um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
tetraconta- -cai- -di- -gono tetracontacaidígono
Exemplo 2

Um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
pentaconta-   -gono pentacontágono

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como o miriágono (10.000 lados).[8]

Propriedades

Podemos observar uma série de relações entre os diversos elementos de um polígono.[5] Aqui, apresentamos algumas destas propriedades.

Vértices e lados

O número de lados e o número de ângulos de um polígono é igual ao seu número de vértices.

Diagonais

  • De cada vértice de um polígono de lados, saem diagonais. Com efeito, um polígono de lados tem vértices. De um dado vértice formamos segmentos de reta com cada um dos outros vértices. Agora, observamos que dois destes segmentos são lados do polígono, portanto, de cada vértice partem diagonais.
  • O número de diagonais de um polígono -látero é:
    Com efeito, a combinação de seus vértices dois a dois fornece o número total de segmentos de reta que podem ser construídos usando todos os seus vértices. Deste número, são lados do polígono e o restante são diagonais, i.e.:
  • Em um polígono convexo de lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por De fato, diagonais partem de cada vértice determinando, com os lados do polígono, triângulos.

Ângulos

  • A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de lados é dada por:
    Com efeito, as diagonais que partem de um dado vértice formam triângulos. Observamos que é igual a soma dos ângulos internos destes triângulos, i.e.
  • A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de lados é igual a Com efeito, sejam e os respectivos ângulos interno e externo do -ésimo vértice de um polígono -látero. Por definição, temos para todo Daí, segue que:
    donde, vemos que
  • A medida do ângulo interno de um polígono regular de lados é dada por:
  • A medida do ângulo externo de um polígono regular de lados é dada por:
  • A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de lados () é igual a
  • A medida do ângulo central de um polígono regular de lados () é dada por:

Mitologia

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.[9]

Ver também

Referências

  1. «Dicionário Priberam da Língua Portuguesa: polígono». Priberam Informática. Consultado em 3 de dezembro de 2014
  2. Euclides, Os Elementos, Livro I, Definição 23 [em linha]
  3. Romirys Cavalcante. «O que é uma linha poligonal?». Consultado em 26 de março de 2019
  4. Victor G. Ganzha, Evgenii V. Vorozhtsov. Computer-Aided Analysis of Difference Schemes for Partial Differential Equations. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118030851
  5. Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863
  6. David Terr, Eric W. Weisstein. «Concave Polygon». MathWorld - A Wolfram Web Resource. Consultado em 26 de março de 2019
  7. R. S. Schaeffer. «Naming Polygons». Kutztown University. Consultado em 26 de março de 2019
  8. http://mathworld.wolfram.com/Myriagon.html
  9. Eudoxo, citado por Plutarco, Moralia, Ísis e Osíris, 30 [em linha]

Ligações externas

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