פונקציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
ערך זה עוסק בפונקציה במתמטיקה. אם התכוונתם לפונקציה בתכנות, ראו שגרה.

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה (נקראת גם העתקה) היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המתמטיקה, וגם מחוץ לה. הפונקציה משמשת בין השאר ככלי לבטא תלות בין משתנים (מצב בו שני משתנים תלויים זה בזה) וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע והכלכלה.

הגדרה פורמלית

מבחינה פורמלית פונקציה fהיא שלשה (X,Y,F)כאשר X ו-Y הן קבוצות כלשהן. F היא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית X \times Y(כלומר קבוצה של זוגות סדורים שהאיבר הראשון בכל זוג הוא מ-X והשני מ-Y) שמקיימת את שני התנאים הבאים:

  • לכל x \in Xקיים y \in Yכך ש-(x,y) \in F.
  • לכל x \in Xאם (x,y_1) \in Fוגם (x,y_2) \in Fאז y_1=y_2.

מסמנים f(x)=yאם ורק אם (x,y) \in F. במקרה כזה האיבר y קרוי התמונה של x, ו-x קרוי מקור של y. התנאי הראשון מבטיח שלכל x ב-X יש תמונה. התנאי השני מבטיח שתמונה זו היא יחידה.

אם מוותרים על התנאי הראשון (לא לכל איבר יש בהכרח תמונה) אז מתקבלת פונקציה חלקית, ואם מוותרים על התנאי השני (ייתכנו איברים עם יותר מתמונה אחת) מתקבלת פונקציה מרובה. אם מוותרים על שני התנאים יחדיו מתקבל יחס במובנו הכללי.

שתי פונקציות מוגדרות כשוות רק כאשר כל שלוש הקבוצות שמגדירות את הפונקציות שוות זו לזו.

הקבוצה X קרויה תחום הפונקציה (או תחום ההגדרה של הפונקציה). זוהי קבוצת כל האיברים עליהם הפונקציה מוגדרת. הקבוצה Y קרויה טווח הפונקציה. זוהי קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להתאים לאיבר מ-X. אומרים שהפונקציה "מקבלת" איברים מהתחום X ו"מחזירה" איברים מהטווח Y. הקבוצה F קרויה גרף הפונקציה. זאת משום שבמקרה הפרטי של פונקציות ממשיות ניתן לתאר את F כאופן ציורי כגרף במערכת צירים קרטזית. הסימון המקובל לפונקציה שתחומה Xוטווחה Yהוא f: X \to Y.

לכל Z \subseteq X(תת-קבוצה כלשהי של X) הקבוצה f(Z)היא תת-קבוצה של Y המוגדרת: f(Z) = \{f(z) \mid z\in Z \}. כלומר זוהי התת-קבוצה של Y הכוללת את כל האיברים שהם תמונות של איברי Z. אומרים על f(Z)שהיא התמונה של Z. בפרט, הקבוצה f(X)הכוללת את כל האיברים ב-Y שהם תמונה של איבר כלשהו ב-X, נקראת התמונה של הפונקציה f.

לכל Z \subseteq Yהקבוצה f^{-1}(Z)היא תת-קבוצה של X המוגדרת: \{x \in X \mid f(x)\in Z\}. כלומר זוהי התת-קבוצה של X הכוללת את כל האיברים שהתמונה שלהם היא איבר ב-Z. אומרים על f^{-1}(Z)שהיא המקור של Z.

אם f: X \to Yהיא פונקציה, ו-Z \subseteq X, אז הפונקציה f|_Z�: Z \to Yהמוגדרת f|_Z(z) = f(z), נקראת הצמצום של f ל-Z. זוהי הפונקציה שזהה לפונקציה f, רק שתחומה הוא Z.

תכונות של תמונות ומקורות

לכל איבר ב-X יש תמונה יחידה, אבל לאיבר ב-Y יכולים להיות כמה מקורות או אף מקור בכלל. לכן באופן כללי לא תמיד מתקיים f^{-1}(f(Z)) = Zאו f(f^{-1}(Z)) = Z. היחסים הבאים תמיד מתקיימים:

דוגמאות

  1. ההתאמה המתאימה לכל אדם את גילו היא פונקציה מקבוצת האנשים לקבוצת המספרים הטבעיים, כי לכל אדם יש גיל, ולא ייתכן אדם שיש לו שני גילאים שונים.
  2. ההתאמה המתאימה לכל מספר ממשי את ריבועו היא פונקציה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה. ניתן לתארה באמצעות השוויון f(x) = x^2
  3. ההתאמה המתאימה לכל אדם את אזרחותו אינה פונקציה מאחר שיש אנשים בעלי מספר אזרחויות.
  4. ההתאמה המתאימה לכל אדם את מד הכושר שלו בשחמט אינה פונקציה כי יש אנשים שאינם מדורגים על ידי פיד"ה.

תכונות של פונקציות

בתחומים שונים של המתמטיקה חוקרים ומתעניינים בתכונות שונות ומגוונות של פונקציות. על פי רוב מדובר בתכונות הקשורות במבנה המוגדר על התחום או הטווח של הפונקציה (למשל רציפות של פונקציות ממשיות ושימור מרחק של איזומטריות). עם זאת ישנן מספר תכונות כלליות של פונקציות שאינן תלויות כלל במבנה של הקבוצות עליהן הן מוגדרות.

  • פונקציה \ f: X \to Yנקראת חד-חד ערכית (חח"ע) אם מתקיים: \ f(x_1)=f(x_2)\rArr x_1=x_2. כלומר אם לכל שני איברים שונים זה מזה בתחום מותאמים שני איברים שונים זה מזה בטווח. במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לכל היותר מקור אחד.
  • פונקציה \ f:X \to Yנקראת על אם לכל \ y\in Yקיים \ x\in Xכך ש-\ f(x)=y. כלומר אם התמונה של הפונקציה שווה לטווח שלה (f(X)=Y). במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לפחות מקור אחד. במקרה כזה גם אומרים ש-fהיא פונקציה על Y.
  • פונקציה חד-חד-ערכית ועל (חחע"ע) היא פונקציה שהיא הן חד-חד-ערכית והן על. לפונקציה שכזו מתקיים שלכל איבר בטווח יש בדיוק מקור אחד. קיום פונקציה שכזו בין שתי קבוצות מראה שהן שקולות. שם אחר לפונקציה חחע"ע f: X \to Yהוא פונקציה הפיכה. זאת משום שלפונקציות שכאלו ניתן להגדיר פונקציה הופכית: f^{-1}: Y \to Xהמקיימת f^{-1}(y)=xלכל y\in Y, כאשר xהוא האיבר היחיד ב-Xהמקיים f(x)=y. אם f: X \to Yהיא פונקציה הפיכה, אז לכל x \in Xולכל y \in Yמתקיים: f^{-1}(f(x))=xו-f(f^{-1}(y))=y.
  • פונקציה f: X \to X(מקבוצה לעצמה) שהיא חד-חד-ערכית ועל נקראת תמורה.
  • על איבר z \in X\cap Y(איבר שנמצא הן ב-X והן ב-Y) נאמר שהוא נקודת שבת של f: X \to Yאם מתקיים f(z) = z.

מקרים בסיסיים

להלן דוגמאות לפונקציות בסיסיות המוגדרות באופן כללי לקבוצות ללא תלות במבנה מסוים.

פונקציית הזהות

ערך מורחב – פונקציית הזהות

פונקציית הזהות על קבוצה Xהיא פונקציה I: X \to Xהמוגדרת  I(x)=xלכל x \in X. כאשר רוצים להדגיש שמדובר בפונקציית הזהות של קבוצה מסוימת X מסמנים את הפונקציה כ-I_X. פונקציית הזהות היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל (ולכן גם תמורה). כל איבר ב-X הוא נקודת שבת שלה. הפונקציה ההופכית שלה היא היא עצמה (f = f^{-1}). פונקציית הזהות היא איבר היחידה ביחס להרכבת פונקציות (כמפורט בהמשך). היא משמשת כדי להראות שכל קבוצה שקולה לעצמה.

הפונקציה הריקה

הפונקציה הריקה לקבוצה Yהיא הפונקציה היחידה f: \empty \to Y. כלומר זוהי הפונקציה היחידה מהקבוצה הריקה לקבוצה כלשהי Y. מכיוון שבקבוצה הריקה אין איברים, הפונקציה לא מקבלת שום איבר ואין אף איבר ב-Y שיש לו מקור ביחס אליה. הפונקציה מקיימת את התנאים שבהגדרת הפונקציה באופן ריק. הפונקציה היא חד-חד-ערכית (באופן ריק), אך אינה על, למעט במקרה Y = \empty.

פונקציה קבועה

ערך מורחב – פונקציה קבועה

פונקציה f: X \to Yשמקיימת שלכל x_1,x_2 \in Xמתקיים f(x_1)=f(x_2)נקראת פונקציה קבועה. הפונקציה הריקה היא קבועה באופן ריק. אם fהיא פונקציה קבועה שאינה הפונקציה הריקה, אז קיים y_0 \in Yכך שלכל x \in Xמתקיים f(x) = y_0. אם Xאינה ריקה ואינה יחידון, אז אף פונקציה קבועה ממנה אינה חד-חד-ערכית (לעומת זאת כל פונקציה מיחידון היא חד-חד-ערכית). אם Yאינה ריקה ואינה יחידון, אז פונקציה קבועה אליה אינה על.

פונקציה מציינת

ערך מורחב – פונקציה מציינת

פונקציה 1_Z: X \to \{0,1\}נקראת פונקציה מציינת של תת-קבוצה Z \subseteq Xאם לכל x \in Xמתקיים:

1_Z(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{if}\ x \in Z \\
0 &\mbox{if}\ x \notin Z
\end{matrix}\right.

כלומר זאת פונקציה שמחזירה 1 לכל איבר של Z, ומחזירה 0 לכל איבר שאינו ב-Z.

פונקציה n-מקומית

פונקציה n-מקומית או פעולה n-ארית היא פונקציה מהצורה f: X^n \to X. כאשר X^n = \underbrace{X \times \cdots \times X}_nהיא קבוצת ה-n-יות הסדורות של איברי X. כאשר רושמים את התמונה של פונקציה n-מקומית מקובל להשמיט את הסוגריים של ה-n-יה הסדורה. כלומר רושמים f(x_1,\ldots,x_n)במקום f((x_1,\ldots,x_n)).

פונקציה 1-מקומית נקראת גם פעולה אונארית. זוהי פשוט פונקציה f: X \to Xרגילה.

המקרה החשוב ביותר הוא של פונקציה 2-מקומית, הקרויה גם פעולה בינארית. זוהי פעולה המתאימה לכל זוג סדור של איברים בקבוצה, איבר בקבוצה. הדוגמאות המוכרות ביותר לפעולות בינאריות הן ארבע פעולות החשבון המוגדרות על קבוצות של מספרים. במקרה כזה נהוג להחליף את הסימון הסטנדרטי לתמונת הפונקציה בסימן פעולה שמופיע בין איברי הזוג. במקום לסמן f(x_1,x_2)מסמנים x_1 \star x_2כאשר \starהוא סימן מוסכם כלשהו שמסמן את פעולת f.

פונקציה 3-מקומית נקראת פעולה טרינארית.

הרכבת פונקציות

על קבוצה של פונקציות ניתן להגדיר פעולה בינארית בסיסית הקרויה הרכבת פונקציות. בהינתן פונקציה f: X \to Yופונקציה g: Y \to Z, מגדירים את ההרכבה שלהן h = g \circ fבתור פונקציה h: X \to Zהמוגדרת לכל x \in Xבתור h(x) = g(f(x)). כלומר תוצאת ההרכבה היא פונקציה המוגדרת על ידי הפעלת f על איבר ועל התמונה המתקבלת מפעילים את g. הרכבת פונקציות אינה פעולה קומוטטיבית (לרוב f \circ g \ne g \circ fגם אם שני האגפים מוגדרים). עם זאת, זוהי פעולה אסוציאטיבית (כאשר יש שרשרת של פעולות הרכבה בזו אחרי זו, ניתן להוסיף בתוכה סוגריים היכן שרוצים בלי לשנות את התוצאה).

פונקציית הזהות היא איבר יחידה (שמאלי או ימני) ביחס להרכבת פונקציות. בהינתן פונקציה f: X \to Yמתקיים f \circ I_X = fוכן I_Y \circ f = f. אם fהפיכה, אז מתקיים גם f^{-1} \circ f = I_Xוכן f \circ f^{-1} = I_Y.

מהתכונות שנמנו כאן נובע שקבוצת הפונקציות מקבוצה כלשהי Xלעצמה (פונקציות מהצורה f: X \to X) היא מונואיד ביחס לפעולת הרכבת הפונקציות. פונקציית היחידה I_Xהיא איבר היחידה (הדו-צדדי) של המונואיד. האיברים ההפיכים במונואיד הם הפונקציות ההפיכות.

קבוצת הפונקציות Y^X

ערך מורחב – חזקה: קבוצות

את קבוצת הפונקציות מקבוצה X לקבוצה Y מסמנים Y^X. סימון זה אינו מקרי. יש קשר הדוק בין קבוצה זו לפעולת החזקה.

לכל קבוצה יש עוצמה שניתן לתארה אינטואיטיבית כ"מספר האיברים" בה. העוצמות של קבוצות סופיות הן מספרים טבעיים. לקבוצות אינסופיות יש עוצמות אינסופיות, שעשויות להיות שונות זו מזו (תורת הקבוצות מבחינה בין גדלים שונים של אינסוף). את העוצמה של קבוצה X מסמנים |X|.

אם X ו-Y הן קבוצות סופיות, אז מספר הפונקציות בקבוצה Y^Xהוא מספר האיברים ב-Y בחזקת מספר האיברים ב-X. בניסוח קומפקטי לפי הסימונים שהנהגנו זה עתה: \left|Y^X\right| = |Y|^{|X|}. הזהות נובעת משיקול קומבינטורי פשוט שמסתמך על עקרון הכפל: נניח שבקבוצה X יש n איברים, ובקבוצה Y יש m האיברים. נבחר איבר ראשון ב-X, הוא יכול לעבור לכל אחד מ-m איברים. נבחר איבר שני ב-X, גם הוא יכול לעבור לכל אחד מ-m איברים. וכן הלאה עד שנגיע לאיבר ה-n ב-X. נכפיל את כל האפשרויות יחדיו לכל איברי X כדי לקבל את מספר האפשרויות הכולל ונקבל m^n.

לקבוצות אינסופיות מחליטים לקבל זהות זו כהגדרה של חזקה בין עוצמות אינסופיות. לכל זוג עוצמות |X|,|Y|מגדירים |Y|^{|X|} = \left|Y^X\right|. זוהי הגדרה מוצלחת, שכן היא מקיימת את חוקי החזקות והיא עדין מהווה פעולת כפל מקוצר ביחס לכפל המוגדר בין עוצמות.

ראו גם

  • ערכי פונקציות בוויקיפדיה
נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוך • משלים • הפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטור • משפט קנטור שרדר ברנשטיין • השערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה

This article is issued from Wikipedia. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike; additional terms may apply for the media files.