Nombre rationnel

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers (souvent appelés fractions) sont souvent notés , où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On appelle a le numérateur et b le dénominateur.

Représentation des nombres irrationnels selon la répartition des réels en nombres rationnels, constructibles, algébriques et transcendants. Cliquez sur un des nombres du schéma pour plus d'informations concernant l'élément choisi. (Image source)

Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2 = 2/4 = 3/6 = etc. Mais il existe une forme privilégiée, quand a et b n'ont pas de diviseur commun autre que 1 (ils sont premiers entre eux). Tout nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. On parle alors de fraction irréductible.

Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel.

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou ℚ (baptisé ainsi par Peano en 1895 d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). De par sa définition :

où ℤ est l'anneau des entiers relatifs.

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