1 − 2 + 3 − 4 + ···

في الرياضيات، تشير صيغة 1 − 2 + 3 − 4 + ··· إلى متسلسة غير منتهية والتي تكون حدودها أعداد صحيحة موجبة ذات إشارة متناوبة. وباستخدام صيغة مجموع سيغما، يكون مجموع الحدود m الأولى من هذه المتسلسة معطى بالعلاقة :

رسم توضيحي يظهر أول 15000 مجموع جزئي من سلسلة 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·، وتظهر الأرقام الموجبة إلى اليمين والأرقام السالبة إلى اليسار.

هذه المتسلسلة هي متسلسلة متباعدة، لأن المجاميع الجزئية لهذه المتسلسلة (1، -1، 2، -2، ...) لا تؤول إلى قيمة محدودة. على الرغم من ذلك فإن أويلر كتب في القرن الثامن عشر مفارقة تنص بأن المجموع الكلي لهذه المتسلسة هو 1/4 بالشكل :

وظلت تلك المفارقة بدون إثبات لمدة طويلة. ومنذ عام 1890، قام إرنست سيزارو و إيميل بوريل وآخرون بدراسة طرق محددة لتعيين مجاميع عامة للمتسلسلات المتباعدة تتضمن تفسيرات جديدة لمحاولة أويلر. الكثير من تلك الطرق تحقق أن مجموع متسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... هو القيمة 14. كانت طريقة "مجموع سيزارو" من الطرق القلائل التي لم تعطي مجموعا لمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ...، ولذلك تعد هذه المتسلسلة مثالا على المتسلسلات التي تحتاج إلى طريقة أقوى مثل مجموع آبل.

متسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... مرتبطة ب متسلسلة غراندي 1 − 1 + 1 − 1 + .... تعامل أويلر مع هاتين المتسلسلتين كحالة خاصة من ( 1 − 2n + 3n − 4n + ...) لقيم اختيارية للمتغير n، وهناك أبحاث لتعميم عمله على معضلة بازل تؤدي إلى معادلة دالية لما يُعرف بـ دالة إيتا لدركليه و دالة زيتا لريمان.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.