جبر خطي

الفضاء الإقليدي الثلاثي الأبعاد R3 هو فضاء متجهي, والمستقيمات والمستويات المارة من نقطة المركز هي في حد ذاتها فضاءات متجهية جزئية في R3.

الجبر الخطي هو فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الفضاءات المتجهية (أَو الفضاءات الخطية) والتحويلات الخطية والنظم الخطية.

تُشكل الفضاءات المتجهية موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يُستعمل الجبر الخطي كثيرا في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. للجبر الخطي أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية.

محتويات

التاريخ

انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة المحددات، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف لايبنز في عام 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حلحلة الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة الحذف الغاوسي، التي نُظر إليها في البداية كتطور في الجيوديسيا.

ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في انجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح Matrix (ماتريكس والتي تترجم إلى اللغة العربية بمصفوفة). مصطلح Matrix يعني باللغة اللاتينية الرّحِم.

انظر إلى أرثور كايلي.

مجال الدراسة

الموضوعة المعنى
تجميعية الجمع u + (v + w) = (u + v) + w
تبادلية الجمع u + v = v + u
وجود العنصر المحايد في الجمع يوجد عنصر 0 ∈ V, يسمى المتجهة المنعدمة, حيث v + 0 = v مهما كان vV.
وجود العنصر المعاكس في الجمع مهما كان v ∈ V, يوجد عنصر −vV, يسمى معاكس جمعي v, حيث v + (−v) = 0
توزيعية of scalar multiplication with respect to vector addition   a(u + v) = au + av
توزيعيةof scalar multiplication with respect to field addition (a + b)v = av + bv
Compatibility of scalar multiplication with field multiplication a(bv) = (ab)v [nb ١]
Identity element of scalar multiplication 1v = v, where 1 denotes the multiplicative identity in F.

مقدمة

بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه : الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.

تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا.

يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها عبارة عن مجموعات مرتبة نونية n-tuples مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة عبارة عن قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات. مثلا في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا : (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).

وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي كمصطلح تجريدي فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة المصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي. ومن أهم مايُدرس خلاله هو

  1. المتجهات في Rn وCn
  2. جبر المصفوفات
  3. منظومات المعادلات الخطية
  4. المصفوفات المربعة
  5. المحددات
  6. البنى الجبرية
  7. الفضاءات والفضاءات الجزئية المتجهية
  8. الترابط الخطي، القاعدة، البُعد
  9. التطبيقات
  10. التطبيقات الخطية
  11. فضاءات التطبيقات الخطية
  12. المصفوفات والتطبيقات الخطية
  13. تغيير القاعدة، والتشابه
  14. فضاءات الجداء الداخلي، التعامد
  15. الحدوديات فوق حقل
  16. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، التقطير
  17. الأشكال القانونية
  18. الداليات الخطية، والفضاءالثنوي
  19. الأشكال الخطانية(ثنائية الخطية)والتربيعية والهرميتية
  20. المؤثرات الخطية على فضاءات الجداء الداخلي
  21. تطبيقات في الهندسة والحسبان

انظر أيضا

وصلات خارجية

ٍٍ

خطأ استشهاد: وسوم <ref> موجودة لمجموعة اسمها "nb"، لكن لا وسم <references group="nb"/> مماثل تم العثور عليه