Bevezetés a lineáris algebrába

Isten hozott a Mátrixban!

Mi a lineáris algebra?

A lineáris algebra a matematika (konkrétan az algebra) egyik tudományága, elsősorban a geometria és a fizikai bizonyos eredményeire épült és utóbbi tudományágak szükségletei hívták életre. Viszonylag fiatal terület, első komolyabb eredményei a XIX. század közepén, végén születtek.

Első közelítésben úgy határozható meg, mint azon sokváltozós/sokismeretlenes algebrai egyenleteknek és az általuk leírt függvényeknek, geometriai alakzatoknak és más objektumoknak vizsgálata, mely egyenletekben minden ismeretlen, változó stb. legfeljebb az első hatványon szerepel.

Bővebben ld. a Bevezetőt.

A könyv didaktikai jellegéről

Jelen munka inkább bevezető tankönyv és összefoglaló jegyzet, mint kizárólag a gyors tájékozódást szolgáló, áttekintő kézikönyv.

Egészen elemi, általános iskolás szintről kiindulva kezdünk a téma kifejtésébe (noha a tárgyalásmódban, elsősorban a felépítés részletességében, precizitásában e szintet már a kezdet kezdetén jóval meghaladjuk). Igyekszünk bemutatni, amennyire lehetséges, először a szemléletes (pl. a geometriai), kevésbé absztrakt, és történetileg is korábban kialakult területeket, és fokozatosan jutunk el az egyre absztraktabb fogalmakhoz és formálisabb tárgyaláshoz.

A szövegstílust tekintve a bevezető fejezetekben megpróbáljuk Dohár Péter: Kis angol nyelvtan c. könyvének bizonyos, a hagyományos tankönyveknél kötetlenebb stíluselemeket hordozó jellegzetességeit követni.

A könyv tartalma

Elemi lineáris algebra

Strukturális lineáris algebra

    1. Vektorok gyűrű felett
    2. Mátrixok gyűrű felett (csak a definíció és az alkalmazások említve)
    3. Modulusok és Lineáris terek
    4. Lineáris összefüggőség és függetlenség
    5. Bázis, dimenzió
    6. Direkt összeg
    7. Homomorfizmus, lineáris leképezések
    8. Mátrixok összeadása és szorzása számmal
    9. Invariáns altér
    10. Affin kombináció, bázis és alterek
    11. Euklideszi terek
    12. Normált terek
    13. Topologikus vektorterek

Mátrixalgebra

A táblák pedig Isten kezének csinálmányai valának, az írás is Isten írása vala, kimetszve a táblákra.” (Exod. 31.16).
  • Lineáris mátrixműveletek
    • Mátrixok összeadása és skalárszorzása ?
  • Mátrixszorzás
    • Mátrixok szorzása
  • Speciális alakú mátrixok
  • Determináns
  • Adjungált, inverz
  • Mátrixok és egyenletrendszerek
    • Egyenletrendszer mátrixa
    • Gauss-eljárás
    • Cramer-szabály
    • Rang
  • Speciális mátrixok és determinánsok
    • Vandermonde-determináns
    • Komplex mátrixok
  • Numerikus és analitikus módszerek
    • Gram-Schmidt-eljárás
    • Diagonalizálás, felbontások, LU-felbontás
    • Mátrixegyenletek
    • Mátrixanalízis, mátrixtopológia
    • Sajátérték
    • Minimálpolinom

Alkalmazások

    1. Transzformációk és tenzorok
    2. Analízis, n-változós differenciálszámítás, diffegyenletek
    3. Algebra: polinomok, rezultáns, véges testek (Fr-mátrix)
    4. Kombinatorika, Véges geometria, Matroidok
    5. Kódelmélet
    6. Valószínűségszámítás: Markov-folyamat mátrixa

Függelék

Hivatkozások

Irodalom

  • Cser AndorL. Ziermann MargitReményi Gusztáv: Matematikai zsebkönyv. Budapest: Tankönyvkiadó. 1967. RSz. 8009 – 66.2021  
  • Freud Róbert: Lineáris algebra. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 1998. ISBN 963-463-080-4  
  • Hajnal Imre: Matematika I. Gimnáziumi tankönyv. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. 1994. ISBN 963-18-5861-8  
  • Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. 6. kiad. Budapest: Műszaki. 1998. = Bolyai-könyvek, ISBN 963-16-3005-6  
  • Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. 1996. = Tanárképző Főiskolai Könyvek, ISBN 963-18-7433-8  

Lásd még

This article is issued from Wikibooks. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.