< מתמטיקה תיכונית < גיאומטריה אוקלידית < משפטים בגאומטריה

מעגל

הגדרה: אוסף של נקודות שמרחקן מנקודה קבועה (מרכז המעגל) שווה.

  • שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
  • שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.

רדיוס

הגדרה: רדיוס (r) הוא קטע המחבר בין מרכז המעגל לנקודה כלשהי על המעגל.

  • במעגל כל הרדיוסים שווים.
  • במעגל כל הקטרים שווים.

מיתרים

הגדרה : מיתר הוא קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל.

משפטים :

  • למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות ולהפך לקשתות שוות מיתרים שווים.
  • למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות ולהפך לזוויות מרכזיות שוות יש מיתרים שווים
  • אנך ממרכז המעגל אל המיתר חוצה את המיתר, הזווית המרכזית והקשת המתאימה
    • קטע החוצה את הזווית המרכזית של המיתר הוא אנך למיתר.
    • קטע העובר דרך מרכז המעגל וחוצה מיתר, מאונך לו.
    • קטע ממרכז המעגל החוצה את הקשת של המיתר אנך לו.
    • אנך ממרכז המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
  • מרחקו של מיתר מן המרכז הוא אורך האנך היוצא מהמרכז אל המיתר
  • למיתרים שווים מרחק שווה ממרכז המעגל.
    • מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.
  • אם מיתר אחד גדול ממיתר שני אז מרחקו מהמרכז יהיה קצר יותר ממרחקו של המיתר השני.
    • מיתר שמרחקו מהמרכז קצר יותר ממרחקו של מיתר שני יהיה ארוך יותר מהמיתר השני.
  • קטע העובר דרך קצהו של מיתר במעגל ויוצר איתו זווית השווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני הוא גם משיק למעגל (לא לציטוט בבגרות)

קוטר

הגדרה: קוטר הוא המיתר האורך ביותר במעגל העובר דרך מרכז המעגל, וגודלו שווה לפעמיים גודל הרדיוס (2r).

  • מרחק בין מיתר למרכז המעגל הוא אנך למיתר המגיע למרכז המעגל.
  • ככל שמיתר קרוב יותר למרכז המעגל הוא גדול יותר, וקוטר הוא המיתר הגדול ביותר שיכול להווצר במעגל.

קשת

הגדרה: קשת היא נקטע על המעגל הכלוא בין שתי נקודות עליו (בד"כ הכוונה לקטע הקטן אלא אם צוין אחרת). גודלה של הקשת שווה לגודל הזווית הכלואה והמתאימה לאותה קשת.

  • לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.

זוויות במעגל

זווית מרכזית

הגדרה: זווית שקדקודה הוא מרכז המעגל ושוקיה הם רדיוס.

  • זוית מרכזית שווה בגודלה לקשת עליה היא נשענת
  • לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות.
  • לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.

זווית היקפית

הגדרה: זווית שקדקודה על המעגל ושוקיה הם מיתריה.

זוויות נוספות

  • על מיתרים שווי גודל, נשענות זוויות היקפיות שוות.
  • אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
  • זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
  • זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
  • זווית חיצונית למעגל שווה למחצית ההפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.

משיקים למעגל

הגדרה: משיק למעגל הוא ישר אינסופי הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד על המעגל ומאונך לרדיוסו.

  • רדיוס המעגל מאונך למשיק הנפגש איתו על המעגל.
    • אם רדיוס מאונך לקטע על המעגל, הקטע משיק למעגל.
  • שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם (מהנקודה המשותפת עד לנקודת ההשקה).
    • קטע המחבר קודקוד הזווית בין שני משיקים עם מרכז המעגל הוא חוצה זווית.
  • הזווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית הקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
    • משפט ההפוך :אם זווית הקפית ששווה לזוית בין המשיק למיתר אז המיתר משיק למעגל
  • הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה של משיקים מקבילים הוא קוטר.

פרופורציות במעגל

שני מעגלים

הגדרה: הקטע המחבר את מרכזיהם של שני מעגלים נקרא קטע מרכזים.

  • מעגלים נחתכים - קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
  • מעגלים משיקים חיצונית ופנימית - קטע המרכזים של מעגלים משיקים חיצונית עובר בנקודת ההשקה, ושווה לסכום הרדיוסים של שני המעגלים.
  • המשך קטע המרכזים של מעגלים משיקים פנימית עובר בנקודת ההשקה, ושווה להפרש הרדיוסים של שני המעגלים.


מעגל חוסם וחסום

מעגל חוסם משולש

הגדרה: מעגל חוסם משולש הוא מעגל העובר בכל אחד מקדקודי המשולש.

  • ניתן לחסום כל משולש במעגל.
  • מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של כל האנכים האמצעיים של המשולש.
    • במשולש חד זווית: מרכז המעגל נמצא בתוך המשולש.
    • במשולש ישר זווית: מרכז המעגל נמצא על היתר והוא מרכזו .
    • במשולש קהה זווית: מרכז המעגל נמצא מחוץ למשולש.
  • ניתן למצוא את מרכז המעגל ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת מפגש של שני אנכים אמצעיים בלבד.

מעגל חסום במשולש

הגדרה: מעגל חסום במשולש הוא מעגל שכל צלעות המשולש משיקות לו.

  • ניתן לחסום מעגל בכל משולש.
  • מרכז המעגל החסום הוא נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית במשולש.
  • ניתן להוכיח כי נקודה מסויימת היא מרכז המעגל החסום במשולש ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת המפגש של שני חוצי זווית בלבד.

מעגלים:

  • הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
  • הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.

מעגל חוסם מרובע

הגדרה: מעגל חוסם מרובע הוא מעגל העובר דרך כל הקדקודים של המרובע.בכדי שיהיה ניתן לחסום מרובע במעגל, במרובע חייב להתקיים אחד הכללים הבאים:

מעגל חסום במרובע

הגדרה: מעגל חסום במרובע הוא מעגל שכל צלעות המרובע משיקות לו. *בכדי שניתן יהיה לחסום מעגל במרובע, במרובע חייב להתקיים הכלל הבא:

  • במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
  • מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.

מצולע משוכלל חוסם וחסום מעגל

  • אם מחלקים מעגל למספר (n) קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n צלעות.
  • כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
  • בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
This article is issued from Wikibooks. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.